本题导读
本题考查平面图形的折叠。
📌【题干】
Question
（2012年江西卷(文)） 如图，在梯形 中，，， 是线段 上的两点，且 ，，，，，.现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， 两点重合于点 ，得到多面体 .
(1) 求证：平面 平面 ；
(2) 求多面体 的体积.
!
🔍【思路分析】
破题导航
(1) 平面 ，故平面 平面 。(2) ，（合集印 为误，采信 ）。
✅【答案】
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(1) 证明见解析；(2)
✍【详细解析】
Abstract
折叠前先算线段：直角三角形 中 、，故 ；直角三角形 中 、，故 。
于是 ，。
(1) 折叠后 、 重合于 ，记 ，。
由折叠不变量：（原 ），（原 ），，故 平面 ，从而 。
又 （原 ），且 ，、 都在平面 内，故 平面 。
而 平面 ，所以平面 平面 。
（另一角度：、、，勾股定理逆定理得 ，同样可得 平面 。）
(2) 由 、、、 知 是 的矩形，。
由 平面 ， 平面 ，得平面 平面 ，交线为 。
故 在平面 上的射影 落在交线 上，且 ，即 是直角三角形 （，斜边 ）斜边上的高：
。
所以 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：折叠问题中的不变量（垂直与长度）；线面、面面垂直的判定定理；四棱锥体积与”平面 平面 ⇒ 射影在交线上”求高
核心方法：折叠前先算尽所有线段长；折叠后抓两组”不变垂直”证面面垂直；(2) 用”两平面垂直 ⇒ 顶点射影在交线”把高化成直角三角形斜边上的高
避坑指南：本题最易错在两点：一是误以为射影 的位置要另解方程组，其实平面 平面 交于 ， 就是 斜边上的高 ；二是把 误当作面 上的高，得 （合集答案即误于此），正确高为 ，。粗检：，且 应小于以 为高的估算值 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：平面图形折叠成多面体综合题，与 2012 年北京卷文第 16 题、2014 年广东卷文第 18 题、2015 年陕西卷文第 18 题同族。
结论推广：折叠问题守恒清单：落在同一半平面内的长度与角度全不变，跨折痕的垂直需重新判定；“平面 平面 交于 ，点 ， 在 上的射影在 上”是求锥体高的万能通道。
方法推广：折叠大题四步：①折叠前算清所有线段；②折叠后列不变量；③证垂直链（线线 → 线面 → 面面）；④选底面用等体积或射影法求高，最后用不等式粗检体积量级。
🔗【关联脉络】
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