2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及由等式推断参数大小。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 设 $a>0$，$b>0$，$\mathrm{e}$ 是自然对数的底数，则下列判断正确的是()

A. 若 ${\mathrm{e}}^a+2a={\mathrm{e}}^b+3b$，则 $a>b$　　　　　B. 若 ${\mathrm{e}}^a+2a={\mathrm{e}}^b+3b$，则 $a<b$

C. 若 ${\mathrm{e}}^a-2a={\mathrm{e}}^b-3b$，则 $a>b$　　　　　D. 若 ${\mathrm{e}}^a-2a={\mathrm{e}}^b-3b$，则 $a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

若 $a<b$，则 ${\mathrm{e}}^a<{\mathrm{e}}^b$ 且 $2a<3b$，与等式矛盾；$a=b$ 给 $a=0$，与 $a>0$ 矛盾，故 $a>b$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

设 ${\mathrm{e}}^a+2a={\mathrm{e}}^b+3b$。

若 $a<b$：由 ${\mathrm{e}}^x$ 递增得 ${\mathrm{e}}^a<{\mathrm{e}}^b$；又 $a<b$ 且 $b>0$ 时 $2a<2b<3b$，故 ${\mathrm{e}}^a+2a<{\mathrm{e}}^b+3b$，与等式矛盾，故 $a⩾b$。

若 $a=b$：等式变为 $2a=3a$，得 $a=0$，与 $a>0$ 矛盾，故 $a>b$，A 正确、B 错误。

对 C、D：考察 $h_1(x)={\mathrm{e}}^x-2x$ 与 $h_2(x)={\mathrm{e}}^x-3x$（$x>0$），二者各自在 $\left(0,\ln k\right)$ 上递减、$\left(\ln k,+\infty \right)$ 上递增（$k=2,3$），都不单调，由 $h_1(a)=h_2(b)$ 不能推出 $a$、$b$ 的大小。例如 $a$ 取 $h_1$ 最小值点附近的值、$b$ 取得使等式成立的相应值时，$a<b$ 与 $a>b$ 均可实现，故 C、D 均不成立。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数与一次函数合成函数的单调性；由等式比较参数大小

核心方法：对确定的结论用”增函数+增函数”的反向推理（反证），对不确定的选项用函数的单调区间说明存在反例

避坑指南：${\mathrm{e}}^x+kx$ 在 $k>0$ 时是严格增函数（可放心反向比较），而 ${\mathrm{e}}^x-kx$ 先减后增不单调，由函数值相等不能比大小——本题四个选项正是围绕这一差异命题。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数与单调性综合判断题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 8 题、2014 年重庆卷理第 12 题同族。

结论推广：${\mathrm{e}}^x+kx(k>0)$ 严格递增：${\mathrm{e}}^a+ka<{\mathrm{e}}^b+kb⟺a<b$。

方法推广：比较参数大小时，先判断等式两侧函数的单调性：单调则可反向推理，不单调则需构造具体反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-16 填-指数函数、函数的单调性与零点
• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小
• 2014-重庆卷理-12 填-对数运算与对数函数