2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性规划求取值范围。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 设 $z=x+2y$，其中实数 $x$，$y$ 满足 $x-y+1⩾0$，$x+y-2⩽0$，$x⩾0$，$y⩾0$，则 $z$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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可行域顶点为 $(0,0)$、$(2,0)$、$\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$、$(0,1)$，$z=x+2y$ 最小 $0$、最大 $\frac{7}{2}$。

✅【答案】

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$\left[0,\frac{7}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

画出不等式组表示的可行域：由 $x⩾0$，$y⩾0$，$y⩽x+1$，$y⩽2-x$ 围成的四边形区域（含边界）。

求顶点：$O(0,0)$；$y=0$ 与 $x+y-2=0$ 交于 $A(2,0)$；$x-y+1=0$ 与 $x+y-2=0$ 联立解得 $B\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$；$x=0$ 与 $x-y+1=0$ 交于 $C(0,1)$。

$z=x+2y$ 对应直线束 $y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，截距越大 $z$ 越大：在 $O$ 处取最小值 $0$；在 $B$ 处取最大值 $z=\frac{1}{2}+2\times \frac{3}{2}=\frac{7}{2}$。

故 $z$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{7}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划；目标函数在可行域顶点处取最值

核心方法：画可行域 → 求各顶点坐标 → 比较目标函数在顶点处的值

避坑指南：顶点 $B$ 是两条斜率相反的边界直线的交点，解方程组别解错；合集答案误印为 $\left[0,\frac{7}{4}\right]$，经独立复算与多方权威解析核对，正确答案为 $\left[0,\frac{7}{2}\right]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划取值范围题，与 2013 年山东卷文第 14 题、2012 年天津卷文第 2 题同族。

结论推广：线性目标函数的最值只可能在可行域顶点（或边界）处取得。

方法推广：线性规划通法：不等式先化成”边界直线 + 半平面”，可行域顶点逐个代入目标函数比大小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-14 填-线性规划距离
• 2013-山东卷理-06 单-线性规划
• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值