2012-湖北卷文-13 填-向量单位向量与夹角

本题导读

本题考查单位向量，以及平面向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(1,1)$，则

(1)与 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 同向的单位向量的坐标表示为$\underline{}$；

(2)向量 $\mathbf{b}-3\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{a}$ 夹角的余弦值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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（1）$2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3,1)$，同向单位向量 $\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$；（2）$\mathbf{b}-3\mathbf{a}=(-2,1)$，与 $\mathbf{a}$ 夹角余弦 $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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(1)$\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$；(2)$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2,0)+(1,1)=(3,1)$，其模 $|(3,1)|=\sqrt{10}$。

与之同向的单位向量为 $\frac{1}{\sqrt{10}}(3,1)=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10},\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$。

（2）$\mathbf{b}-3\mathbf{a}=(1,1)-(3,0)=(-2,1)$，$|(-2,1)|=\sqrt{5}$。

设夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{(\mathbf{b}-3\mathbf{a})\cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{b}-3\mathbf{a}||\mathbf{a}|}=\frac{-2\times 1+1\times 0}{\sqrt{5}\times 1}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同向单位向量的求法；向量夹角的坐标公式

核心方法：同向单位向量 $=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$；夹角余弦 $=\frac{\text{数量积}}{\text{模之积}}$

避坑指南：“同向”的单位向量只有一个，取 $\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ 而不是 $\pm \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$；夹角余弦为负说明是钝角，别在最后一步把负号弄丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量坐标运算综合填空题，与 2013 年辽宁卷文第 3 题、2013 年安徽卷文第 13 题同族。

结论推广：与 $\mathbf{v}$ 同向的单位向量是 $\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$，反向的是 $-\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$，共线的单位向量有两个。

方法推广：向量小题先”坐标化”，再套两个基本公式（单位化、夹角），注意结果用分母有理化形式书写。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-03 单-同方向单位向量
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2014-山东卷文-07 单-向量夹角