2012-湖南卷文-07 单-指对不等式比较

本题导读

本题考查不等式的基本性质，以及对数函数与换底公式。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 设 $a>b>1$，$c<0$，给出下列三个结论：

① $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$；　② $ac<bc$；　③ ${\log }_b(a-c)>{\log }_a(b-c)$.

其中所有正确结论的序号是()

A. ①　　　　　　　B. ①②　　　　　　　C. ②③　　　　　　　D. ①②③

🔍【思路分析】

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$c<0$ 时除法反向、乘法反向，$a-c>b-c>1$ 且真数大、底数小则对数值大，三条全对，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

①：$a>b>0$，两边同除以正数 $ab$ 得 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$；同乘负数 $c$ 得 $\frac{c}{a}>\frac{c}{b}$，① 正确。

②：$a>b$，两边同乘负数 $c$ 得 $ac<bc$，② 正确。

③：由 $a>b>1$，$c<0$ 得 $a-c>b-c>1$。用换底公式：${\log }_b(a-c)=\frac{\ln (a-c)}{\ln b}$，${\log }_a(b-c)=\frac{\ln (b-c)}{\ln a}$。分子上 $\ln (a-c)>\ln (b-c)>0$，分母上 $0<\ln b<\ln a$，故前者分子更大、分母更小，${\log }_b(a-c)>{\log }_a(b-c)$，③ 正确。

三条结论都正确，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式两边乘（除）负数变号；换底公式与对数单调性

核心方法：乘除运算盯住符号定变号；对数比较用换底公式化为同型分数比较

避坑指南：③ 是易错点：两个对数的底与真数同时不同，直接比大小容易慌；化为 $\frac{\ln \text{真数}}{\ln \text{底数}}$ 后”大分子、小分母”即可断定。① 中 $c$ 是负数，除以 $a$、$b$ 后不等号要反向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式与对数综合的多结论选择题，与 2013 年新课标Ⅱ文第 8 题、2014 年福建卷理第 4 题同族。

结论推广：$a>b>1$，$c<0\Rightarrow {\log }_b(a-c)>{\log }_a(b-c)$；更一般地，$\frac{A}{B}>\frac{C}{D}$ 可由 $A>C>0$ 且 $0<B<D$ 保证。

方法推广：多结论选择题逐条独立判断，不确定的用特值（如 $a=3$，$b=2$，$c=-1$）先行试探。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小
• 2014-福建卷理-04 单-对数函数及其性质