2012-湖南卷文-09 单-抽象函数零点个数

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性，以及利用导数符号判断单调性。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 是最小正周期为 $2\pi$ 的偶函数，$f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数. 当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$0<f(x)<1$；当 $x\in (0,\pi )$ 且 $x\ne \frac{\pi }{2}$ 时，$\left(x-\frac{\pi }{2}\right)f^{\prime }(x)>0$，则函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $[-2\pi ,2\pi ]$ 上的零点个数为()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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$f$ 在 $[0,\pi ]$ 上先减后增且 $0<f<1$；在 $(0,\pi )$ 上 $f(x)-\sin x$ 两端异号且单调，各有 $1$ 个零点，再由对称与周期平移到负半轴，共 $4$ 个。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

先读出 $f$ 在 $[0,\pi ]$ 上的形态：$x<\frac{\pi }{2}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$x>\frac{\pi }{2}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故 $f$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上递减、在 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上递增，且 $0<f(x)<1$。

记 $g(x)=f(x)-\sin x$。在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上：$g(0)=f(0)>0$，$g\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\frac{\pi }{2}\right)-1<0$，且 $f$ 递减、$\sin x$ 递增，$g$ 严格递减，故恰有 $1$ 个零点；在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 上：$g$ 严格递增，$g\left(\frac{\pi }{2}\right)<0$，$g(\pi )=f(\pi )>0$，恰有 $1$ 个零点。在 $[\pi ,2\pi ]$ 上 $\sin x⩽0$ 而 $f(x)>0$，无零点。

负半轴：令 $x=-t$（$t\in (0,2\pi ]$），$g(-t)=f(t)+\sin t=0$ 等价于 $f(t)=-\sin t$。当 $t\in (\pi ,2\pi )$ 时 $-\sin t=\sin (2\pi -t)>0$，且 $f(t)=f(2\pi -t)$，令 $u=2\pi -t\in (0,\pi )$，方程化为 $f(u)=\sin u$，与正半轴完全相同，故恰有 $2$ 个解，对应 $[-2\pi ,0)$ 上 $2$ 个零点。

合计 $2+2=4$ 个零点，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数与周期性的联动；导数符号定单调；零点存在定理与单调性确定零点个数

核心方法：分段分析端点函数值的符号差 + 段内严格单调，保证”有且仅有”；负半轴用对称性化归到正半轴

避坑指南：负半轴不是简单地把零点”镜像翻倍”：$g(-x)=f(x)+\sin x\ne g(x)$，必须换元 $t=-x$ 化为 $f(t)=-\sin t$ 再借周期平移回正半轴；端点 $x=0,\pm \pi ,\pm 2\pi$ 处 $\sin x=0$ 而 $f>0$，都不是零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抽象函数与零点个数综合题，与 2012 年福建卷文第 22 题、2012 年北京卷文第 5 题同族。

结论推广：偶函数 $+$ 周期 $T$：$f(2\pi -t)=f(-t)=f(t)$；研究 $f(x)\pm \sin x$ 型零点常按半周期分段。

方法推广：零点个数题的标准路线：分段定号（端点值异号）+ 段内单调（导数或复合单调性），二者合起来才能数清个数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-22 解-函数解析式与零点个数
• 2012-北京卷文-05 单-函数零点个数
• 2012-湖北卷文-03 单-函数零点个数