2012-湖南卷文-16 填-二进制新定义数列

本题导读

本题考查二进制表示，以及新定义数列的项的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 对于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，将 $n$ 表示为 $n=a_k\times 2^k+a_{k-1}\times 2^{k-1}+\cdots +a_1\times 2^1+a_0\times 2^0$，当 $i=k$ 时，$a_i=1$，当 $0⩽i⩽k-1$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$. 定义 $b_n$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 中等于 $1$ 的个数为奇数时，$b_n=1$；否则 $b_n=0$.

(1)$b_2+b_4+b_6+b_8=$ $\underline{}$；

(2)记 $c_m$ 为数列 $\{b_n\}$ 中第 $m$ 个为 $0$ 的项与第 $m+1$ 个为 $0$ 的项之间的项数，则 $c_m$ 的最大值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$b_2=b_4=b_8=1$，$b_6=0$，（1）为 $3$；数列中 $0$ 项之间的间隔至多 $2$，（2）为 $2$。

✅【答案】

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(1)$3$；(2)$2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$2=10_{(2)}$（一个 $1$，奇）$\Rightarrow b_2=1$；$4=100_{(2)}\Rightarrow b_4=1$；$6=110_{(2)}$（两个 $1$，偶）$\Rightarrow b_6=0$；$8=1000_{(2)}\Rightarrow b_8=1$。故 $b_2+b_4+b_6+b_8=1+1+0+1=3$。

（2）数列开头为：$n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,\cdots$ 对应 $b_n=1,1,0,1,0,0,1,1,0,\cdots$，即 $0$ 项出现在 $n=3,5,6,9,10,12,15,\cdots$。相邻 $0$ 项之间的项数依次为 $1,0,2,0,1,2,\cdots$，猜想最大值为 $2$。

证明间隔不超过 $2$：考察任意相邻四项 $b_n,b_{n+1},b_{n+2},b_{n+3}$。若 $n$ 为偶数，$n$ 与 $n+1$ 的二进制表示仅末位不同，$1$ 的个数奇偶性相同；$n+2$ 与 $n+3$ 同理，且比 $n$ 多一次进位，奇偶性相反。于是四个 $b$ 值呈 $b,b,1-b,1-b$ 型，$0$ 与 $1$ 都至多连续 $2$ 个。故相邻两个 $0$ 项之间的项数 $c_m⩽2$，又 $c_2=2$（$n=7,8$ 两个 $1$ 项夹在 $6$ 与 $9$ 之间），所以最大值为 $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二进制表示与数位和的奇偶性；新定义数列的规律探索与论证

核心方法：先算前若干项归纳规律，再抓住”$n$ 与 $n+1$ 进位对奇偶性的影响”给出一般论证

避坑指南：$c_m$ 数的是”两个 $0$ 项之间的项数”，$5$ 与 $6$ 是相邻的两个 $0$ 项，此时 $c_m=0$ 而不是 $1$；判断奇偶时数的是二进制中 $1$ 的个数，不是十进制数的奇偶。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义数列题，与 2013 年福建卷文第 16 题、2013 年山东卷文第 16 题同族。

结论推广：偶数 $n$ 与 $n+1$ 的二进制 $1$ 的个数奇偶性相同；本题的 $b_n$ 序列即”图厄—摩斯序列”，其 $0,1$ 都不会连续出现 $3$ 次。

方法推广：新定义题先按定义老老实实列前 10 项左右找规律，再对”最值”补一个单调性或分类的一般论证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-16 填-保序同构新定义
• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义
• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值