2012-辽宁卷文-19 解-独立性检验与古典概型

本题导读

本题考查频率分布直方图。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 $100$ 名观众进行调查，其中女性有 $55$ 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

!

将日均收看该体育节目时间不低于 $40$ 分钟的观众称为”体育迷”，已知”体育迷”中有 $10$ 名女性.

(1)根据已知条件完成下面的 $2\times 2$ 列联表，并据此资料你是否认为”体育迷”与性别有关？

| | 非体育迷 | 体育迷 | 合计 | | 男 | | | | | 女 | | | | | 合计 | | | |

(2)将日均收看该体育节目不低于 $50$ 分钟的观众称为”超级体育迷”，已知”超级体育迷”中有 $2$ 名女性.若从”超级体育迷”中任意选取 $2$ 人，求至少有 $1$ 名女性观众的概率.

附：${\chi }^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$，

| $P({\chi }^2⩾k)$ | $0.05$ | $0.01$ | | $k$ | $3.841$ | $6.635$ |

🔍【思路分析】

破题导航

体育迷共 $25$ 人（男 $15$、女 $10$），${\chi }^2=\frac{100}{33}\approx 3.03<3.841$，没有充分理由认为有关；（2）$P=1-\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_5^2}=\frac{7}{10}$。

✅【答案】

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(1)没有充分的理由认为”体育迷”与性别有关；(2)所求概率为 $\frac{7}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由直方图，不低于 $40$ 分钟的频率为 $(0.020+0.005)\times 10=0.25$，故”体育迷”共 $100\times 0.25=25$ 人。

又”体育迷”中有 $10$ 名女性，则男性体育迷 $15$ 人；由女性共 $55$ 人、男性共 $45$ 人，得列联表：

	非体育迷	体育迷	合计
男	$30$	$15$	$45$
女	$45$	$10$	$55$
合计	$75$	$25$	$100$

（1）${\chi }^2=\frac{100\times (30\times 10-15\times 45{)}^2}{45\times 55\times 75\times 25}=\frac{100\times 375^2}{4640625}=\frac{100}{33}\approx 3.03$。

因为 $3.03<3.841$，所以没有充分的理由认为”体育迷”与性别有关。

（2）不低于 $50$ 分钟的频率为 $0.005\times 10=0.05$，“超级体育迷”共 $5$ 人，其中女性 $2$ 人、男性 $3$ 人。

从 $5$ 人中任取 $2$ 人，共有 ${\mathrm{C}}_5^2=10$ 种取法。

“至少有 $1$ 名女性”的对立事件是”$2$ 人全为男性”，取法数为 ${\mathrm{C}}_3^2=3$。

故所求概率 $P=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布直方图（频率 $=$ 纵坐标 $\times$ 组距）；${\chi }^2$ 公式的代入与临界值比较；古典概型的对立事件

核心方法：直方图读数定人数 → 补表 → 算 ${\chi }^2$ 并比较；（2）用 $1-P(\text{全男})$ 化简计数

避坑指南：直方图纵轴是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，频率要乘组距 $10$；${\chi }^2$ 公式中四个边缘和 $n_{1+}$，$n_{2+}$，$n_{+1}$，$n_{+2}$ 的位置最易放错；“至少有 $1$ 名女性”用对立事件算比直接分类（$1$ 女 $1$ 男、$2$ 女）省力且不易漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立性检验与古典概型综合题，与 2014 年辽宁卷文第 18 题、2013 年福建卷文第 19 题、2014 年安徽卷文第 17 题同族。

结论推广：${\chi }^2=\frac{100}{33}\approx 3.03<3.841$ 时不能以 $95\%$ 的把握下”有关”的结论；“至少一个”型概率优先算对立事件：$P=1-\frac{{\mathrm{C}}_m^k}{{\mathrm{C}}_n^k}$。

方法推广：统计大题按”读图 → 建表 → 检验 → 概率”四段推进，每段的数据都来自前一段，先核对合计再代公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-18 解-独立性检验
• 2013-福建卷文-19 解-直方图与独立性检验
• 2014-安徽卷文-17 解-统计与独立性检验