2012-重庆卷文-04 单-二项展开式的系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项的系数。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） $(1-3x{)}^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为()

A. $-270$　　　　　　B. $-90$　　　　　　C. $90$　　　　　　D. $270$

🔍【思路分析】

破题导航

通项中 $x$ 的次数由 $k$ 决定，令 $k=3$，系数为 ${\mathrm{C}}_5^3(-3{)}^3$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

通项 ${\mathrm{T}}_{k+1}={\mathrm{C}}_5^k\cdot 1^{5-k}\cdot (-3x{)}^k={\mathrm{C}}_5^k(-3{)}^k{x}^k$。

令 $k=3$，得 $x^3$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_5^3(-3{)}^3=10\times (-27)=-270$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理的通项公式；组合数与系数的符号

核心方法：写通项时把负号一起放进底数 $(-3x{)}^k$，次数由 $k$ 直接读出

避坑指南：符号随 $k$ 的奇偶变化：$k=3$ 为奇数，系数必为负；漏掉 $(-3{)}^3$ 中的负号或把 $(-3{)}^3$ 算成 $-9$ 都是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项展开式特定项系数题，与 2012 年上海卷文第 8 题、2012 年大纲卷文第 13 题同族。

结论推广：$(a+bx{)}^n$ 展开式中 $x^k$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；若求”二项式系数”则不带 $b^k$，两者不要混为一谈。

方法推广：求特定项一律先写通项、定 $k$、再代数值，顺序固定不出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-08 填-二项展开式常数项
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项
• 2013-四川卷理-11 填-二项式通项