2012-重庆卷文-09 单-四面体棱长范围

本题导读

本题考查四面体的结构特征，以及空间位置关系与距离范围。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 设四面体的六条棱的长分别为 $1$，$1$，$1$，$1$，$\sqrt{2}$ 和 $a$，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\sqrt{2}\right)$　　　　　B. $\left(0,\sqrt{3}\right)$　　　　　C. $\left(1,\sqrt{2}\right)$　　　　　D. $\left(1,\sqrt{3}\right)$

🔍【思路分析】

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取 $AB=\sqrt{2}$，$CA=CB=DA=DB=1$，则 $C$、$D$ 都在 $AB$ 的中垂面内、到中点距离均为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，$CD$ 是该圆上的弦，直径 $\sqrt{2}$，故 $a\in (0,\sqrt{2})$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=\sqrt{2}$，由 $A{C}^2+B{C}^2=1+1=2=A{B}^2$ 知 $\angle ACB=90^{\circ }$；同理 $A{D}^2+B{D}^2=2=A{B}^2$，$\angle ADB=90^{\circ }$。

取 $AB$ 中点 $M$，则 $MC=MD=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，且 $C$、$D$ 都在 $AB$ 的中垂面内。

四面体不退化要求 $C$、$D$ 不重合，故 $CD>0$；又 $CD$ 是半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 的圆上的弦，最长为直径 $\sqrt{2}$，但 $CD=\sqrt{2}$ 时 $C$、$D$ 与 $M$ 共线，四点共面（构成正方形），四面体退化，故 $CD<\sqrt{2}$。

所以 $a=CD\in (0,\sqrt{2})$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角三角形斜边中线定理；异面棱的几何位置；退化（共面）临界情形

核心方法：把”两条棱异面”翻译成”两个顶点都在第三条棱的中垂面内”，用圆上弦长范围定参

避坑指南：上端点不能取：$a=\sqrt{2}$ 时四点共面不再是四面体；下端点 $a\to 0^{+}$ 时 $C$、$D$ 重合同样退化。两个临界都取不到，故是开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由六棱长限定四面体形状求取值范围，与 2014 年上海卷文第 19 题、2014 年新课标Ⅱ文第 7 题同族。

结论推广：一般地，设 $AB=c$ 固定，$PA=PB=s$，$QA=QB=t$，则 $P$、$Q$ 都在 $AB$ 的中垂面内，$PQ$ 的范围由两个圆（半径 $\sqrt{s^2-\frac{c^2}{4}}$、$\sqrt{t^2-\frac{c^2}{4}}$）的相对位置决定。

方法推广：立体几何的”取值范围”题：先摆出极端位置（重合、共面），再用不等式夹出范围，临界是否可取要单独论证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开
• 2014-新课标II卷文-07 单-三棱锥体积
• 2013-上海卷文-19 解-正三棱锥度量