2012-重庆卷文-20 解-直三棱柱中的角与距离

本题导读

本题考查异面直线间的距离。核心在于建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=4$，$AC=BC=3$，$D$ 为 $AB$ 的中点.

!

(1)求异面直线 $C{C}_1$ 和 $AB$ 的距离；

(2)若 $A{B}_1\perp A_{1}C$，求二面角 $A_1-CD-B_1$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

$CD\perp AB$ 且 $CD\perp C{C}_1$，故公垂线段即 $CD=\sqrt{5}$；建系后 $A{B}_1\perp A_{1}C$ 给出 $h^2=8$，$\cos \angle A_{1}D{B}_1=\frac{h^2-4}{h^2+4}=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)$\sqrt{5}$；(2)$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $AC=BC$ 及 $D$ 为 $AB$ 中点，得 $CD\perp AB$，$AD=BD=2$。

在 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，$CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。

直三棱柱中 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，而 $CD\subset$ 平面 $ABC$，故 $CD\perp C{C}_1$；又 $CD\perp AB$。

所以 $CD$ 是异面直线 $C{C}_1$ 与 $AB$ 的公垂线段，所求距离为 $\sqrt{5}$。

（2）以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴，过 $D$ 且平行于 $C{C}_1$ 的直线为 $z$ 轴建系。

则 $A(-2,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,\sqrt{5},0)$，$A_1(-2,0,h)$，$B_1(2,0,h)$（$h$ 为棱柱高）。

$\overrightarrow{A{B}_1}=(4,0,h)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(2,\sqrt{5},-h)$。

由 $A{B}_1\perp A_{1}C$：$\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}=8-h^2=0$，故 $h^2=8$。

$\overrightarrow{D{A}_1}=(-2,0,h)$，$\overrightarrow{D{B}_1}=(2,0,h)$，它们都垂直于棱 $CD$，故 $\angle A_{1}D{B}_1$ 为二面角 $A_1-CD-B_1$ 的平面角。

$\cos \angle A_{1}D{B}_1=\frac{\overrightarrow{D{A}_1}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}}{|\overrightarrow{D{A}_1}||\overrightarrow{D{B}_1}|}=\frac{h^2-4}{h^2+4}=\frac{8-4}{8+4}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：公垂线段与异面直线距离；二面角平面角的定义（棱的垂线）；空间向量数量积求角

核心方法：“等腰三角形底边中线即高”找公垂线；建系后先由垂直条件定参，再用夹角公式

避坑指南：$A{B}_1\perp A_{1}C$ 是用来定棱柱高的，不是用来求角的；$\overrightarrow{D{A}_1}\cdot \overrightarrow{D{B}_1}=h^2-4$ 为正说明平面角是锐角，若误把 $h^2$ 当 $8$ 以外的值或漏掉”$A_1$、$B_1$ 在棱 $CD$ 同侧”的判断，会算出 $\frac{1}{3}$ 的相反数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中异面直线距离与二面角综合题，与 2013 年北京卷理第 14 题、2013 年重庆卷理第 19 题同族。

结论推广：等腰三角形中，底边中点到两腰端点的连线同时垂直于底边与侧棱时即为公垂线段；直棱柱的高可由体对角线或异面垂直条件反解。

方法推广：立体几何解答题：能找公垂线就直接找（第 1 问），求角则建系（第 2 问）；建系前先验证三条线两两垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-14 填-异面直线间的距离
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2012-上海卷文-19 解-三棱锥体积与异面直线角