2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)）如图，设椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，线段 $O F_{1}$ ， $O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，且 $△ A B_{1} B_{2}$ 是面积为 $4$ 的直角三角形.

!

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)过 $B_{1}$ 作直线交椭圆于 $P$ ， $Q$ 两点，使 $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ，求 $△ P B_{2} Q$ 的面积.

🔍【思路分析】

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直角只能在 $A$ 处： $A B_{1} \cdot A B_{2} = b^{2} - \frac{c ^{2}}{4} = 0 \Rightarrow c = 2 b$ ；面积 $\frac{1}{2} (b^{2} + \frac{c ^{2}}{4}) = b^{2} = 4$ 。第（2）问设 $y = m (x + 2)$ ，代入椭圆得 $(1 + 5 m^{2}) t^{2} - 4 t - 16 = 0$ ，垂直条件化简得 $m^{2} = \frac{1}{4}$ ， $S = \frac{16 10}{9}$ 。

✅【答案】

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(1)离心率 $e = \frac{2 5}{5}$ ，标准方程为 $\frac{x ^{2}}{20} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ ；(2) $\frac{16 10}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），半焦距 $c$ ，则 $B_{1} (- \frac{c}{2}, 0)$ ， $B_{2} (\frac{c}{2}, 0)$ ， $A (0, b)$ 。

$B_{1} A \cdot B_{1} B_{2} = \frac{c ^{2}}{2} \neq = 0$ ， $B_{2}$ 处同理不为直角，故直角在 $A$ 处：

$A B_{1} \cdot A B_{2} = - \frac{c ^{2}}{4} + b^{2} = 0$ ，得 $c = 2 b$ 。

面积 $4 = \frac{1}{2} ∣ A B_{1} ∣∣ A B_{2} ∣ = \frac{1}{2} (b^{2} + \frac{c ^{2}}{4}) = \frac{1}{2} (b^{2} + b^{2}) = b^{2}$ ，故 $b = 2$ ， $c = 4$ ， $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 20$ 。

所以 $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2 5} = \frac{2 5}{5}$ ，方程为 $\frac{x ^{2}}{20} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 。

（2） $B_{1} = (- 2, 0)$ ， $B_{2} = (2, 0)$ 。

若直线为 $x = - 2$ ，交点纵坐标为 $\pm \frac{4}{5}$ ，此时 $B_{2} P \cdot B_{2} Q = \frac{16}{5} - 16 \neq = 0$ ，不合题意。

故设直线 $y = m (x + 2)$ 。令 $t = x + 2$ ，直线上点为 $(- 2 + t, m t)$ ，代入椭圆：

$\frac{( t - 2 ) ^{2}}{20} + \frac{m ^{2} t ^{2}}{4} = 1$ ，即 $(1 + 5 m^{2}) t^{2} - 4 t - 16 = 0$ 。

所以 $t_{1} + t_{2} = \frac{4}{1 + 5 m ^{2}}$ ， $t_{1} t_{2} = - \frac{16}{1 + 5 m ^{2}}$ 。

$B_{2} P = (t_{1} - 4, m t_{1})$ ， $B_{2} Q = (t_{2} - 4, m t_{2})$ ，由 $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ：

$(t_{1} - 4) (t_{2} - 4) + m^{2} t_{1} t_{2} = (1 + m^{2}) t_{1} t_{2} - 4 (t_{1} + t_{2}) + 16 = 0$ 。

代入韦达： $- \frac{16 ( 1 + m ^{2} )}{1 + 5 m ^{2}} - \frac{16}{1 + 5 m ^{2}} + 16 = 0$ ，即 $- 16 (2 + m^{2}) + 16 (1 + 5 m^{2}) = 0$ ，得 $m^{2} = \frac{1}{4}$ 。

此时 $∣ t_{1} - t_{2} ∣ = (t_{1} + t_{2})^{2} - 4 t_{1} t_{2} = \frac{16 + 64 ( 1 + 5 m ^{2} )}{1 + 5 m ^{2}} = \frac{4 10}{\frac{9}{4}} = \frac{16 10}{9}$ 。

$2 S_{△ P B_{2} Q} = ∣ m ∣ \cdot ∣ (t_{1} - 4) t_{2} - t_{1} (t_{2} - 4) ∣ = 4∣ m ∣∣ t_{1} - t_{2} ∣$ 。

所以 $S_{△ P B_{2} Q} = 2∣ m ∣∣ t_{1} - t_{2} ∣ = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{16 10}{9} = \frac{16 10}{9}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中”直角三角形”顶点的定位；参数化直线与韦达定理；以向量垂直条件定斜率

核心方法：先排除直角在 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 处的可能，再用 $A B_{1} \cdot A B_{2} = 0$ 定 $c$ 与 $b$ 的倍数关系；第（2）问令 $t = x + 2$ 使运算量大幅下降

避坑指南：直角顶点要逐一检验，不能默认在 $A$ 处； $x = - 2$ 这条竖直直线必须单独讨论（它不满足垂直条件）；面积公式 $2 S = 4∣ m ∣∣ t_{1} - t_{2} ∣$ 中的系数来自” $B_{2}$ 到直线的横向偏移 $4$ “，漏掉会差一个常数因子。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆方程 + 垂直弦面积压轴题，与 2012 年北京卷文第 19 题、2013 年山东卷文第 22 题同族。

结论推广：过 $(- \frac{c}{2}, 0)$ 的直线若使 $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ，则 $△ P B_{2} Q$ 的面积只与 $∣ m ∣$ 和 $∣ t_{1} - t_{2} ∣$ 有关；把直线写成 $t$ 的参数式后，” $B_{2}$ 到 $P$ 、 $Q$ 的横偏移”恰为 $t - 4$ 。

方法推广：圆锥曲线压轴的固定套路：设线 → 联立 → 韦达 → 把几何条件（垂直/面积/定值）翻译成 $t_{1} + t_{2}$ ， $t_{1} t_{2}$ 的方程 → 解出参数 → 回代求目标量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

18.01 椭圆专题全总结

09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积

2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量

2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比

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2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积

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