2012-陕西卷文-07 单-向量垂直与二倍角

本题导读

本题考查向量垂直的坐标条件，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 设向量 $\mathbf{a}=(1,\cos \theta )$ 与 $\mathbf{b}=(-1,2\cos \theta )$ 垂直，则 $\cos 2\theta$ 等于()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

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$-1+2{\cos }^2\theta =0\Rightarrow {\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$，$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=0$，故选 C

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，即

$1\times (-1)+\cos \theta \times 2\cos \theta =0$，也就是 $2{\cos }^2\theta =1$。

由二倍角公式：$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-1=0$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的坐标表示；二倍角公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$

核心方法：垂直条件写成数量积为零，解出 ${\cos }^2\theta$，直接代入二倍角公式（不必开方求 $\cos \theta$）

避坑指南：由 $2{\cos }^2\theta =1$ 不必讨论 $\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$——目标 $\cos 2\theta$ 只依赖 ${\cos }^2\theta$；若先开方再算 $\cos 2\theta =\pm 1$？错，$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ 恒为定值 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直与二倍角结合题，与 2012 年福建卷文第 3 题、2013 年山东卷文第 15 题同族。

结论推广：$\mathbf{a}=(x_1,y_1)\perp \mathbf{b}=(x_2,y_2)⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$；目标量是 $\cos 2\theta$、$\sin 2\theta$ 时，保留 ${\cos }^2\theta$、$\sin \theta \cos \theta$ 的整体形式最省事。

方法推广：向量坐标题：数量积展开后，看所求量是哪个”整体”的函数，整体代入，避免不必要的开方与分类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-03 单-向量垂直充要条件
• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参