2012-陕西卷文-18 解-直三棱柱垂直与体积

本题导读

本题考查直三棱柱中的线线垂直。核心在于建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=A{A}_1$，$\angle CAB=\frac{\pi }{2}$.

(1)证明：$C{B}_1\perp B{A}_1$；

(2)已知 $AB=2$，$BC=\sqrt{5}$，求三棱锥 $C_1-AB{A}_1$ 的体积.

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🔍【思路分析】

破题导航

设 $AB=A{A}_1=m$，$AC=n$，建系得 $\overrightarrow{C{B}_1}=(m,-n,m)$、$\overrightarrow{B{A}_1}=(-m,0,m)$，点积 $0$；（2）$AC=1$，$S_{△AB{A}_1}=2$，$V=\frac{1}{3}\times 2\times 1=\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）以 $A$ 为原点，$AB$、$AC$、$A{A}_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建系。记 $AB=A{A}_1=m$，$AC=n$，则

$A(0,0,0)$，$B(m,0,0)$，$C(0,n,0)$，$A_1(0,0,m)$，$B_1(m,0,m)$，$C_1(0,n,m)$。

于是 $\overrightarrow{C{B}_1}=(m,-n,m)$，$\overrightarrow{B{A}_1}=(-m,0,m)$。

$\overrightarrow{C{B}_1}\cdot \overrightarrow{B{A}_1}=m\times (-m)+(-n)\times 0+m\times m=-m^2+m^2=0$。

所以 $C{B}_1\perp B{A}_1$。

（2）在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\angle CAB=\frac{\pi }{2}$，故

$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=5-4=1$，即 $AC=1$，从而 $A{A}_1=AB=2$。

$△AB{A}_1$ 中，$AB\perp A{A}_1$（直三棱柱的侧棱垂直于底面），其面积 $S=\frac{1}{2}\times AB\times A{A}_1=\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$。

平面 $AB{A}_1$ 即坐标平面 $y=0$（该三角形三点的纵坐标均为 $0$），而 $C_1(0,1,2)$，故 $C_1$ 到平面 $AB{A}_1$ 的距离为 $AC=1$。

所以 $V_{C_1-AB{A}_1}=\frac{1}{3}\times 2\times 1=\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线线垂直的向量证法；直三棱柱的结构（侧棱垂直底面、底面直角）；三棱锥的体积公式与换底

核心方法：建系后垂直问题化为数量积为零；体积取 $△AB{A}_1$ 为底面、$C_1$ 到该平面的距离（即 $AC$）为高

避坑指南：（2）的关键是把三棱锥 $C_1-AB{A}_1$ 换个角度看：底面 $△AB{A}_1$ 在坐标平面 $y=0$ 内，高恰为 $AC=1$，不必去求 $C$ 到面的距离；若直接以 $△AB{C}_1$ 为底面计算会麻烦很多。另外 $△AB{A}_1$ 是直角三角形（直角在 $A$），面积才好算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中的垂直与体积题，与 2012 年重庆卷文第 20 题、2013 年辽宁卷文第 10 题同族。

结论推广：直三棱柱中若底面 $△ABC$ 满足 $AB\perp AC$，则任意”侧棱方向 + 底面两边”构成的两两垂直结构可整体建系；$V_{C_1-AB{A}_1}=\frac{1}{3}{S}_{△AB{A}_1}\cdot AC$，本质是”换底面”技巧。

方法推广：立体几何解答题第一问优先向量法（写坐标、点积）；求体积先找”好算的底面 + 垂直的高”，必要时换顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-20 解-直三棱柱中的角与距离
• 2013-辽宁卷文-10 单-直三棱柱外接球
• 2012-新课标卷文-19 解-面面垂直与截面体积