2013-上海卷文-16 单-含参集合并集

本题导读

本题考查集合的并集，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 设常数 $a\in \mathbf{R}$，集合 $A=\{x\mid (x-1)(x-a)⩾0\}$，$B=\{x\mid x⩾a-1\}$.若 $A\cup B=\mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为()

A. $(-\infty ,2)$　　　　　B. $(-\infty ,2]$　　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a>1$：$A=(-\infty ,1]\cup [a,+\infty )$，$B=[a-1,+\infty )$。$A\cup B$ 要覆盖 $(1,a)$，需 $a-1⩽1$，即 $a⩽2$；此时 $A\cup B=(-\infty ,1]\cup [a-1,+\infty )=\mathbf{R}$（$a=2$ 时两段恰在 $1$ 处接上）。
2. $a=1$：$A=\mathbf{R}$，此时并集恒为 $\mathbf{R}$。
3. $a<1$：$A=(-\infty ,a]\cup [1,+\infty )$，$B=[a-1,+\infty )$，$a-1<a$，两段无缝覆盖 → 成立。
4. 综上 $a⩽2$ → B。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

集合 $A$ 是不等式 $(x-1)(x-a)⩾0$ 的解集，其形状由两根 $1$ 与 $a$ 的大小决定。 **情形一：$a>1$。**此时 $A=(-\infty ,1]\cup [a,+\infty )$，$B=[a-1,+\infty )$。 $A\cup B$ 中的”缺口”是区间 $(1,a)$（若 $a-1<a$）。要使 $A\cup B=\mathbf{R}$，必须 $B$ 的左端点不超过 $1$，即 $a-1⩽1\iff a⩽2.$ 当 $a⩽2$ 时 $A\cup B=(-\infty ,1]\cup [a-1,+\infty )=\mathbf{R}$（特别地 $a=2$ 时 $B$ 从 $1$ 开始，与 $(-\infty ,1]$ 恰好无缝衔接）；当 $a>2$ 时 $a-1>1$，区间 $(1,a-1)$ 不属于 $A\cup B$，不成立。 **情形二：$a=1$。**此时 $A=\{x\mid (x-1{)}^2⩾0\}=\mathbf{R}$，故 $A\cup B=\mathbf{R}$ 成立。 **情形三：$a<1$。**此时 $A=(-\infty ,a]\cup [1,+\infty )$，$B=[a-1,+\infty )$。因 $a-1<a$，$(-\infty ,a]$ 与 $[a-1,+\infty )$ 无缝衔接并覆盖 $(-\infty ,+\infty )$，成立。 综上，$a$ 的取值范围为 $a⩽2$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参集合的并集覆盖

核心方法：$a>1$ 时 $A=(-\infty ,1]\cup [a,+\infty )$、$B=[a-1,+\infty )$，$A\cup B$ 覆盖 $\mathbf{R}$ 需 $a-1⩽1$，即 $a⩽2$；$a⩽1$ 时恒成立 → $a⩽2$ → B

避坑指南：按 $a$ 与 $1$ 的大小分类讨论 $A$ 的形状：$a>1$ 时 $A$ 在 $(1,a)$ 处有”缺口”，必须靠 $B$ 的左端点 $a-1$ 补上；$a=2$ 是闭端点（$a-1=1$ 恰接上），端点开闭要验证，别漏掉 $a=2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“含参集合 + 并集为 $\mathbf{R}$“是集合与不等式的综合小题，与 2013 重庆文 1 的补集并集题同型。

结论推广：$A=\{x\mid (x-1)(x-a)⩾0\}$ 的解集形状随 $a$ 与 $1$ 的大小关系改变（$a>1$、$a=1$、$a<1$ 三类）；并集覆盖实数 ⇔ 逐段检查无缝隙，端点单独验证。

方法推广：处理含参集合的交并运算，先按参数分段把集合写成区间端点的显式形式，再”画数轴看缺口”；端点是否并入要单独代入检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-01 单-集合补集
• 2013-山东卷文-02 单-集合补集交集
• 2015-四川卷文-01 单-并集