2013-上海卷理-15 单-集合并集

本题导读

本题考查集合与逻辑，以及集合的基本运算。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 设常数 $a\in \mathbb{R}$，集合 $A=\{x\mid (x-1)(x-a)\ge 0\}$，$B=\{x\mid x\ge a-1\}$.若 $A\cup B=\mathbb{R}$，则 $a$ 的取值范围为().

A. $(-\infty ,2)$　　　　B. $(-\infty ,2]$　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析集合 $A$：
   • 这是一个含参的一元二次不等式。
   • 当 $a>1$ 时，$A=(-\infty ,1]\cup [a,+\infty )$。此时 $A$ 的“缺口”区间是 $(1,a)$。
   • 当 $a<1$ 时，$A=(-\infty ,a]\cup [1,+\infty )$。此时 $A$ 的“缺口”区间是 $(a,1)$。
   • 当 $a=1$ 时，$A=\mathbb{R}$，可知满足题意。
2. 分析集合 $B$：
   • $B=[a-1,+\infty )$，这是一个射线区间。
3. 建立并集全集的条件：
   • 要使 $A\cup B=\mathbb{R}$，集合 $B$ 必须完全覆盖集合 $A$ 的“缺口”部分。
   • 这意味着 $B$ 的左端点 $a-1$ 必须小于或等于“缺口”区间的左端点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：对 $a$ 进行分类讨论

情况 1：$a>1$ 此时集合 $A=(-\infty ,1]\cup [a,+\infty )$。 $A$ 不包含的区间（缺口）为 $(1,a)$。 要使 $A\cup B=\mathbb{R}$，则 $B=[a-1,+\infty )$ 必须覆盖区间 $(1,a)$。 由数轴可见，只需 $B$ 的起点 $a-1\le 1$ 即可。 解得 $a\le 2$。 结合前提条件，得 $1<a\le 2$。

情况 2：$a<1$ 此时集合 $A=(-\infty ,a]\cup [1,+\infty )$。 $A$ 不包含的区间（缺口）为 $(a,1)$。 要使 $A\cup B=\mathbb{R}$，则 $B=[a-1,+\infty )$ 必须覆盖区间 $(a,1)$。 只需 $B$ 的起点 $a-1\le a$。 计算得 $-1\le 0$，该式恒成立。 这意味着当 $a<1$ 时，$B$ 总是能覆盖掉那个缺口（实际上因为 $a-1<a$，$B$ 甚至覆盖了 $A$ 的左半部分的一部分）。 故 $a<1$ 全部满足。

情况 3：$a=1$ 此时 $(x-1{)}^2\ge 0$ 恒成立，$A=\mathbb{R}$。 可知 $A\cup B=\mathbb{R}$ 成立。

第二步：综合结果 综合上述三种情况，满足题意的 $a$ 取值范围是： $a\le 2$（即 $(-\infty ,2]$）。

故正确选项为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合运算的几何意义（区间覆盖）；二次不等式的根与系数关系。

核心方法：“缺口覆盖法”。将并集为全集的问题转化为“集合 $B$ 是否填满了集合 $A$ 挖掉的洞”。

避坑指南：- 很多同学会忽略 $a<1$ 的情况。 - 端点处（如 $a=2$）是否取等号，建议直接代入原式验证以确保万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：交集运算、补集运算、含参不等式的讨论技巧。

结论推广：若集合 $A=(-\infty ,m]\cup [n,+\infty )$，集合 $B=[p,+\infty )$，则 $A\cup B=\mathbb{R}⟺p\le m$。

方法推广：“缺口覆盖法”。将并集为全集的问题转化为“集合 $B$ 是否填满了集合 $A$ 挖掉的洞”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-01 单-集合并集
• 2026-新高考II卷-02 单-集合
• 2026-天津卷-01 单-集合