2013-北京卷理-02 单-复数的乘法与乘方

本题导读

本题考查数系的扩充与复数，以及复数的运算。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 在复平面内，复数 $(2-\text{i}{)}^2$ 对应的点位于()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 复数化简：利用完全平方公式 $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ 对复数进行展开。
2. 运用 $i$ 的性质：牢记 ${\text{i}}^2=-1$，将结果化为标准形式 $a+b\text{i}$。
3. 确定对应点：复数 $z=a+b\text{i}$ 在复平面内对应的点为 $(a,b)$。
4. 象限判定：根据横坐标 $a$ 和纵坐标 $b$ 的正负号确定所属象限。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简复数 根据完全平方公式展开： $(2-\text{i}{)}^2=2^2-2\cdot 2\cdot \text{i}+{\text{i}}^2$ $=4-4\text{i}+{\text{i}}^2$

第二步：代入 ${\text{i}}^2=-1$ $=4-4\text{i}-1$ $=3-4\text{i}$

第三步：确定复平面内的对应点 复数 $3-4\text{i}$ 的实部为 $3$，虚部为 $-4$。 其在复平面内对应的点坐标为 $(3,-4)$。

第四步：判定象限 由于点 $(3,-4)$ 的横坐标为正（$x>0$），纵坐标为负（$y<0$）， 该点位于第四象限。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的四则运算及复数与复平面内点的一一对应关系。

核心方法：“先化简，后判定”。复数问题通常先通过代数变形化为 $z=a+b\text{i}$ 的形式。

避坑指南：在计算完全平方时，容易忘记 ${\text{i}}^2=-1$ 导致的符号变化。虚部是复数中 $\text{i}$ 的系数，不包含 $\text{i}$ 自身。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模、共轭复数、复数相等的条件。

结论推广：若复数 $z=a+b\text{i}$ 位于第四象限，则需满足 $a>0$ 且 $b<0$。

方法推广：涉及复数的模长 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 或共轭复数 $\bar{z}=a-b\text{i}$ 时，同样需要先准确求出实部和虚部。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-02 单-复数乘法
• 2013-天津卷文-09 填-复数乘法
• 2026-新高考I卷-09 多-复数