2013-四川卷文-09 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及离心率。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 从椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_1$，$A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，$B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $AB\parallel OP$（$O$ 是坐标原点），则该椭圆的离心率是()

A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $P(-c,y_P)$ 代入椭圆：$y_P^2=\frac{b^4}{a^2}$，取 $y_P=\frac{b^2}{a}$。
2. $k_{AB}=-\frac{b}{a}$，$k_{OP}=-\frac{y_P}{c}$；平行 → $\frac{b}{a}=\frac{y_P}{c}=\frac{bc}{a}$。
3. $b=c$ → $a^2=2b^2$ → $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ → C。

✅【答案】

点击查看答案

（C）

✍【详细解析】

Abstract

设半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，左焦点 $F_1(-c,0)$，故 $P(-c,y_P)$（$y_P>0$）。 **第一步：定 $P$ 的纵坐标。**代入椭圆方程： $\frac{c^2}{a^2}+\frac{y_P^2}{b^2}=1\Rightarrow y_P^2=\frac{b^2(a^2-c^2)}{a^2}=\frac{b^4}{a^2},y_P=\frac{b^2}{a}.$ 第二步：用平行条件。$A(a,0)$，$B(0,b)$，则 $k_{AB}=\frac{b-0}{0-a}=-\frac{b}{a}$，$k_{OP}=\frac{y_P}{-c}=-\frac{y_P}{c}$。 由 $AB\parallel OP$：$\frac{b}{a}=\frac{y_P}{c}$，即 $y_P=\frac{bc}{a}$。 第三步：解出 $e$。$\frac{b^2}{a}=\frac{bc}{a}$，约去正数得 $b=c$，故 $a^2=b^2+c^2=2b^2$， $e=\frac{c}{a}=\frac{b}{\sqrt{2}b}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率（平行条件）

核心方法：$P\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$，$AB\parallel OP$ → $\frac{b}{a}=\frac{b^2/a}{c}$ → $c=b$ → $a^2=2b^2$ → $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ → C

避坑指南：由 $AB\parallel OP$ 列斜率相等时注意符号：$k_{AB}=-\frac{b}{a}$、$k_{OP}=-\frac{y_P}{c}$，负号约去后才是 $\frac{b}{a}=\frac{y_P}{c}$；$P$ 的纵坐标由通径长 $\frac{2b^2}{a}$ 读出更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆离心率。

结论推广：通径端点设点；平行条件列式；基本量消元。

方法推广：定 $P$ 纵坐标 → 平行条件 → 解 $a,b,c$ 关系 → 求 $e$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率