2013-四川卷文-16 解-等比数列基本量

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于基本量法、约去消元的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2-a_1=2$，且 $2a_2$ 为 $3a_1$ 和 $a_3$ 的等差中项，求数列 $\{a_n\}$ 的首项、公比及前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设首项 $a_1$、公比 $q$，写出 $a_2=a_{1}q$、$a_3=a_1{q}^2$。
2. $a_2-a_1=2$ → $a_1(q-1)=2$，故 $a_1\ne 0$ 且 $q\ne 1$。
3. 等差中项条件 → $2\times (2a_2)=3a_1+a_3$，即 $4a_{1}q=3a_1+a_1{q}^2$，约去 $a_1$ 得 $q^2-4q+3=0$。
4. 解出 $q=1$（舍）或 $q=3$，回代得 $a_1=1$，套求和公式。

✅【答案】

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$a_1=1$，$q=3$，$S_n=\frac{3^n-1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，则 $a_2=a_{1}q$，$a_3=a_1{q}^2$。 由 $a_2-a_1=2$ 得 a_1(q-1)=2, \tag{1} 故 $a_1\ne 0$，且由 (1) 知 $q\ne 1$。 因为 $2a_2$ 是 $3a_1$ 和 $a_3$ 的等差中项，所以 $2\times (2a_2)=3a_1+a_3$，即 $4a_{1}q=3a_1+a_1{q}^2.$ 因 $a_1\ne 0$，两边约去 $a_1$ 得 $q^2-4q+3=0$，即 $(q-1)(q-3)=0$，解得 $q=1$ 或 $q=3$。 若 $q=1$，代回 (1) 得 $0=2$，矛盾，故舍去；所以 $q=3$。 再由 (1) 得 $a_1(q-1)=2$，即 $2a_1=2$，故 $a_1=1$。 于是 $a_n=3^{n-1}$，前 $n$ 项和 $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{3^n-1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与前 $n$ 项和（基本量法）

核心方法：设 $a_1,q$：$a_1(q-1)=2$ 与 $4a_{1}q=3a_1+a_1{q}^2$ 约去 $a_1$ 得 $q^2-4q+3=0$；$q=1$ 与 $a_1(q-1)=2$ 矛盾故 $q=3$、$a_1=1$，$S_n=\frac{3^n-1}{2}$

避坑指南：”$2a_2$ 为 $3a_1$ 和 $a_3$ 的等差中项”须译成 $2\times (2a_2)=3a_1+a_3$，勿写成 $2a_2=\frac{3a_1+a_3}{2}$；另解出 $q=1$ 后必须回代检验，否则会漏掉舍根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量题是四川卷解答题的常规起点，用”两个条件定两个基本量”的套路，与 2013 北京文 11、大纲文 7 同源。

结论推广：把”$2a_2$ 为 $3a_1$ 与 $a_3$ 的等差中项”译为 $2\times (2a_2)=3a_1+a_3$，则条件组 $\{\begin{array}{l}{a}_1(q-1)=2,\\ q^2-4q+3=0\end{array}$ 是顺序性的：先消 $a_1$ 得 $q$ 的一元二次方程，再回代定 $a_1$。

方法推广：凡”首项 + 公比”两未知量题，一律先写 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，再把所有条件翻译成关于 $a_1,q$ 的方程；约去 $a_1$ 前务必确认 $a_1\ne 0$（由 $a_2-a_1=2$ 即得）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和