2013-四川卷理-13 填-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及三角函数的图像与性质。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 设 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$，$\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，则 $\tan 2\alpha$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开倍角公式：
   • 利用 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 将已知等式变形。
2. 求解 $\cos \alpha$：
   • 得到 $2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha$。
   • 注意到 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 时，$\sin \alpha \ne 0$，可以等式两边同时约去 $\sin \alpha$。
3. 确定角 $\alpha$：
   • 根据 $\cos \alpha$ 的值和所在的区间，确定 $\alpha$ 的具体弧度数。
4. 计算目标值：
   • 将 $\alpha$ 代入求出 $2\alpha$，并计算 $\tan 2\alpha$。

✅【答案】

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$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开方程 已知 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$。 利用倍角公式得： $2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha$

第二步：求 $\cos \alpha$ 因为 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，位于第二象限， 所以 $\sin \alpha >0$，即 $\sin \alpha \ne 0$。 方程两边同除以 $\sin \alpha$ 得： $2\cos \alpha =-1⟹\cos \alpha =-\frac{1}{2}$

第三步：确定 $\alpha$ 的值 在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 范围内，满足 $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$ 的角为： $\alpha =\frac{2\pi }{3}$

第四步：计算 $\tan 2\alpha$ 则 $2\alpha =\frac{4\pi }{3}$。 计算正切值： $\tan 2\alpha =\tan \frac{4\pi }{3}=\tan (\pi +\frac{\pi }{3})=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

故填入答案为：$\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 以及诱导公式 $\tan (\pi +x)=\tan x$。

核心方法：“先求角，再求值”。对于这类给定方程和区间的题目，直接求出角的大小是最直接的方法。

避坑指南：约去 $\sin \alpha$ 前必须验证其不为 0。若 $\alpha$ 包含 $k\pi$，则需讨论 $\sin \alpha =0$ 的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的诱导公式、单位圆性质。

结论推广：若不求具体的 $\alpha$，也可以利用 $\cos \alpha =-1/2$ 求出 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=-1/2$ 和 $\sin 2\alpha =\sin (2\pi /3)=\sqrt{3}/2$（需注意象限判定），再求 $\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }$。

方法推广：“先求角，再求值”。对于这类给定方程和区间的题目，直接求出角的大小是最直接的方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-07 单-二倍角
• 2026-上海卷-03 填-二倍角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角