2013-大纲卷文-10 单-导数与切线

本题导读

本题考查导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知曲线 $y=x^4+a{x}^2+1$ 在点 $(-1,a+2)$ 处切线的斜率为 $8$，则 $a=$()

A. $9$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $-9$　　　　　　　D. $-6$

🔍【思路分析】

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1. $y^{\prime }=4x^3+2ax$。
2. $x=-1$ 处：$y^{\prime }=-4-2a=8$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

对 $y=x^4+a{x}^2+1$ 求导： $y^{\prime }=4x^3+2ax.$ 在 $x=-1$ 处，切线斜率为 $y^{\prime }{|}_{x=-1}=4\times (-1{)}^3+2a\times (-1)=-4-2a.$ 由题设 $-4-2a=8⟹-2a=12⟹a=-6.$ （验证点在曲线上：$x=-1$ 时 $y=1+a+1=a+2$，与题给点一致。） 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线斜率）

核心方法：求导后在 $x=-1$ 处代入，令其等于 $8$ 解出 $a$

避坑指南：$y^{\prime }=4x^3+2ax$ 在 $x=-1$ 处为 $-4-2a$（负号别丢）；题给点是曲线上的点，直接代入即可，无需设切点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义（全国卷必考）。

结论推广：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$。

方法推广：切线斜率问题两步：求导 → 在指定横坐标处代值并建立方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性
• 2014-大纲卷理-07 单-切线的斜率