2013-大纲卷理-19 解-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于几何综合法、坐标向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ }$，$BC=2AD$，$△PAB$ 与 $△PAD$ 都是等边三角形.

(1)证明：$PB\perp CD$；

(2)求二面角 $A-PD-C$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明垂直）：
   • 观察底面：$\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ }$ 说明 $AD//BC$。取 $BC$ 中点 $E$，连接 $DE$，则 $ABED$ 为正方形。
   • 寻找垂足：作 $PO\perp$ 平面 $ABCD$ 于 $O$。由 $PA=PB=PD$ 知 $O$ 为 $△ABD$ 外接圆圆心，即正方形 $ABED$ 的中心。
   • 利用三垂线定理：证明 $OE\perp OB$，进而推出 $OE\perp PB$。再利用 $OE//CD$ 即可得证。
2. 第二问（二面角）：
   • 几何法：取 $PD$ 中点 $F$，$PC$ 中点 $G$。证明 $AF\perp PD$ 且 $FG\perp PD$，则 $\angle AFG$ 即为二面角的平面角。在 $△AFG$ 中利用余弦定理求解。
   • 向量法：以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 $APD$ 和平面 $PDC$ 的法向量，计算法向量夹角的余弦值。

✅【答案】

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故 $PB\perp CD$。；即二面角 $A-PD-C$ 的大小为 $\pi -\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明：

取 $BC$ 的中点 $E$，连接 $DE$。 因为 $\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ }$，$AD//BC$ 且 $BC=2AD$，所以 $BE=AD$。 由此可知四边形 $ABED$ 为矩形，且由 $△PAB,△PAD$ 为等边三角形知 $AB=AD$，故 $ABED$ 是正方形。 作 $PO\perp$ 平面 $ABCD$，垂足为 $O$。 连接 $OA,OB,OD$。因为 $PA=PB=PD$，所以 $OA=OB=OD$，即 $O$ 是正方形 $ABED$ 对角线的交点。 连接 $OE$，则 $OE\perp OB$。 因为 $PO\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $OB$ 是 $PB$ 在底面上的射影，由三垂线定理得 $OE\perp PB$。 在 $△BCD$ 中，$E,O$ 分别为 $BC,BD$ 的中点，所以 $OE//CD$。 故 $PB\perp CD$。

（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）知 $CD\perp PO,CD\perp PB$，且 $PO\cap PB=P$，所以 $CD\perp$ 平面 $PBD$。 因为 $PD\subset$ 平面 $PBD$，所以 $CD\perp PD$。 取 $PD$ 的中点 $F$，$PC$ 的中点 $G$，连接 $FG$，则 $FG//CD$，故 $FG\perp PD$。 连接 $AF$。因为 $△PAD$ 是等边三角形，所以 $AF\perp PD$。 故 $\angle AFG$ 为二面角 $A-PD-C$ 的平面角。 设 $AB=2$，则 $AD=2,BC=4$。 计算各边长：

• $AF=\sqrt{3}$（等边三角形高）
• $FG=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\sqrt{D{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{2}$
• 在 $\text{Rt}△PCD$ 中，$PC=\sqrt{P{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{12}$。
• 连接 $AG$，在 $△AFG$ 中，通过坐标或几何计算得 $AG=3$。 根据余弦定理： $\cos \angle AFG=\frac{A{F}^2+F{G}^2-A{G}^2}{2\cdot AF\cdot FG}=\frac{3+2-9}{2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}=-\frac{4}{2\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 所以 $\angle AFG=\pi -\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$。

即二面角 $A-PD-C$ 的大小为 $\pi -\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的性质应用、二面角的平面角构造。

核心方法：“辅助线构造法”。通过中位线和对称性寻找垂直关系是立体几何大题的常用技巧。

避坑指南：- 证明第一问时，必须明确 $O$ 点的位置特性。 - 二面角可能是钝角，计算余弦值为负时应准确转化为对应的弧度或角度。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三垂线定理逆定理、异面直线所成的角。

结论推广：若三条侧棱相等，则顶点在底面的投影是底面多边形的外心。

方法推广：对于此类底面带有直角、侧棱关系明确的锥体，建立空间直角坐标系利用向量法通常更加机械化且不易出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直