2013-大纲卷理-21 解-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线。核心在于待定系数法、设而不求法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $3$.直线 $y=2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$.

(1)求 $a,b$；

(2)设过 $F_2$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左、右两支分别相交于 $A,B$ 两点，且 $|A{F}_1|=|B{F}_1|$，证明：$|A{F}_2|,|AB|,|B{F}_2|$ 成等比数列.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求基本量）：
   • 利用 $e=\frac{c}{a}=3$ 建立 $a,c,b$ 的比例关系。
   • 代入直线 $y=2$ 求解 $x$，根据交点距离公式建立方程求出 $a$。
2. 第二问（证明数列性质）：
   • 坐标化：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由于过 $F_2$ 且交两支，斜率必存在，设 $l:y=k(x-c)$。
   • 联立方程：将直线与双曲线方程联立，利用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$。
   • 焦半径应用：利用双曲线定义，左支点 $A$ 满足 $|A{F}_1|=-(a{x}_1+a)$ (或利用坐标公式)，右支点 $B$ 满足 $|B{F}_1|=a{x}_2+a$。
   • 等比判定：求出 $|A{F}_2|,|B{F}_2|$ 和 $|AB|$ 的表达式，验证 $|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=|AB{|}^2$ 是否成立。

✅【答案】

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所以 $|AB{|}^2=16=|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意，$e=\frac{c}{a}=3$，则 $c^2=9a^2$。由 $b^2=c^2-a^2=8a^2$。 双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{8a^2}=1$，即 $8x^2-y^2=8a^2$。 将 $y=2$ 代入得：$8x^2-4=8a^2⟹x^2=a^2+\frac{1}{2}$。 两个交点横坐标分别为 $x=\pm \sqrt{a^2+\frac{1}{2}}$。 交点距离 $d=2\sqrt{a^2+\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$。 两边平方得：$4(a^2+\frac{1}{2})=6⟹4a^2+2=6⟹a^2=1$。 由于 $a>0$，则 $a=1$。 代入 $b^2=8a^2$ 得 $b^2=8⟹b=2\sqrt{2}$。

（Ⅱ）证明： 由（Ⅰ）知 $a=1,b=2\sqrt{2},c=3$。双曲线方程为 $8x^2-y^2=8$。 焦点 $F_1(-3,0),F_2(3,0)$。 设直线 $l$ 方程为 $y=k(x-3)$。 联立 $\{\begin{array}{l}8x^2-y^2=8\\ y=k(x-3)\end{array}$ 得：$(8-k^2)x^2+6k^{2}x-9k^2-8=0$。 设 $A(x_1,y_1)$ 在左支 ($x_1\le -1$), $B(x_2,y_2)$ 在右支 ($x_2\ge 1$)。 由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{6k^2}{k^2-8}$，$x_1{x}_2=\frac{9k^2+8}{k^2-8}$。 根据焦半径公式（或由两点距离公式化简）： $|A{F}_1|=\sqrt{(x_1+3{)}^2+y_1^2}=\sqrt{x_1^2+6x_1+9+8x_1^2-8}=\sqrt{(3x_1+1{)}^2}$。 由于 $x_1\le -1$，故 $|A{F}_1|=-(3x_1+1)$。 同理，$|B{F}_1|=3x_2+1$。 由 $|A{F}_1|=|B{F}_1|$ 得：$-(3x_1+1)=3x_2+1⟹x_1+x_2=-\frac{2}{3}$。 代入韦达定理：$\frac{6k^2}{k^2-8}=-\frac{2}{3}⟹18k^2=-2k^2+16⟹20k^2=16⟹k^2=\frac{4}{5}$。 此时 $x_1{x}_2=\frac{9(4/5)+8}{4/5-8}=\frac{36+40}{4-40}=-\frac{19}{9}$。

计算各项长度：

• $|A{F}_2|=|e{x}_1-a|=|3x_1-1|=1-3x_1$ （左支）
• $|B{F}_2|=|e{x}_2-a|=3x_2-1$ （右支）
• $|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|=1-3x_1+3x_2-1=3(x_2-x_1)$ 注意：由于直线过 $F_2$ 且 $A,B$ 分居两支，$F_2$ 在线段 $AB$ 上，故 $|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|=(1-3x_1)+(3x_2-1)=3(x_2-x_1)$。 或直接计算：$|AB{|}^2=9[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=9[(-\frac{2}{3}{)}^2-4(-\frac{19}{9})]=9[\frac{4}{9}+\frac{76}{9}]=80⟹|AB|=4\sqrt{5}$。

计算乘积： $|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=(1-3x_1)(3x_2-1)=3x_2-1-9x_1{x}_2+3x_1=3(x_1+x_2)-9x_1{x}_2-1$ 代入数值：$|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=3(-\frac{2}{3})-9(-\frac{19}{9})-1=-2+19-1=16$。 由前文知 $|AB{|}^2=16$ (注意此处由于 $A,B$ 在两支上，$|AB|$ 实际上是两个焦半径之差？不，过右焦点时 $|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|$)。 修正：$|AB|=3x_2-3x_1$。 $|AB{|}^2=9(x_2-x_1{)}^2=9[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=9[\frac{4}{9}+\frac{76}{9}]=80$。 这里需重新审视：$|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=16$, 而等比要求中项平方等于两项积。 题目要求 $|A{F}_2|,|AB|,|B{F}_2|$ 成等比，即 $|AB{|}^2=|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|$。 发现计算结果 $80\ne 16$。检查题目：$|A{F}_1|=|B{F}_1|$。

结论重审：若 $|A{F}_1|=|B{F}_1|$，则 $A,B$ 关于 $y$ 轴对称？不是。 代入 $x_1+x_2=-2/3$ 重新计算。 $|A{F}_2|=1-3x_1,|B{F}_2|=3x_2-1$。 $|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|=16$。 $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+y_1-y_2^2}=\sqrt{(1+k^2)(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{(1+4/5)(\frac{80}{9})}=\sqrt{\frac{9}{5}\cdot \frac{80}{9}}=\sqrt{16}=4$。 所以 $|AB{|}^2=16=|A{F}_2|\cdot |B{F}_2|$。 命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的统一定义、离心率对形状的影响。

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-15 单-双曲线的性质
• 2025-新高考II卷-11 多-双曲线几何性质
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线