2013-天津卷文-06 单-三角函数最值

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及正弦型函数在给定区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 函数 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上的最小值为()

A. $-1$　　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

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1. $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow 2x\in [0,\pi ]\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$。
2. $\sin$ 在 $-\frac{\pi }{4}$ 处取最小值 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 最小值 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 得 $2x\in [0,\pi ]$，从而整体角 $2x-\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right].$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上，$\sin$ 单调递增到 $\frac{\pi }{2}$ 后递减，最小值在左端点取得： $f_{\min }=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$ （$x=0$ 时取到；注意区间不含 $-\frac{\pi }{2}$，所以取不到 $-1$。） 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数在给定区间上的最值

核心方法：$x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\Rightarrow 2x-\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$，$\sin$ 在左端点取最小值 $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：求最值先算清整体角的范围：$2x-\frac{\pi }{4}$ 的下界是 $-\frac{\pi }{4}$（不是 $0$）——$(0,\pi )$ 内看 $\sin$ 的最小值会误以为在最右端 $\frac{\pi }{4}$ 或干脆取 $-1$；本题区间不含 $-\frac{\pi }{2}$，故取不到 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数在给定区间上的最值（整体代换）。

结论推广：整体代换定角的范围；结合 $\sin$ 的图象取最值。

方法推广：由 $x$ 范围推整体角范围 → 在 $[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$ 上读 $\sin$ 的最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值
• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换
• 2013-山东卷文-18 解-三角恒等变换对称