2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及平面向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD=1$，$\angle BAD=60^{\circ }$，$E$ 为 $CD$ 的中点. 若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=1$，则 $AB$ 的长为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $|\overrightarrow{AB}|=m$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
2. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+|\overrightarrow{AD}{|}^2-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^2$。
3. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=m\cos 60^{\circ }=\frac{m}{2}$ → $\frac{m}{4}+1-\frac{m^2}{2}=1$ → $\frac{m}{4}=\frac{m^2}{2}$ → $m=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $|\overrightarrow{AB}|=m$。在平行四边形中 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$ 因 $CD\parallel AB$ 且 $CD=AB$，$E$ 是 $CD$ 中点，故 $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，于是 $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.$ 所以 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)$ $=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{AD}{|}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+|\overrightarrow{AD}{|}^2-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^2.$ 由 $AD=1$，$\angle BAD=60^{\circ }$ 得 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=m\times 1\times \cos 60^{\circ }=\frac{m}{2}.$ 代入 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=1$： $\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{2}+1-\frac{1}{2}{m}^2=1\Rightarrow \frac{m}{4}=\frac{m^2}{2}\Rightarrow m=\frac{1}{2}(\text{舍去}m=0).$ 故 $AB$ 的长为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积与基底表示

核心方法：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|\cos 60^{\circ }+|\overrightarrow{AD}{|}^2-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^2=1$，代 $|\overrightarrow{AD}|=1$ 得 $\frac{m}{4}+1-\frac{m}{2}\cdot m=1$ → $m=\frac{1}{2}$

避坑指南：选基底 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$：$E$ 是 $CD$ 中点，$CD$ 与 $AB$ 平行且相等，故 $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$（方向相反，别写成 $+\frac{1}{2}$）；数量积展开后 $|\overrightarrow{AD}{|}^2=1$ 与常数 $1$ 相消是本题的”彩蛋”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与基向量表示。

结论推广：基向量法（选 $AB$、$AD$ 为基底）；数量积的运算律。

方法推广：用基底表 $AC$、$BE$ → 展开数量积 → 解关于 $m$ 的方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积
• 2013-北京卷文-14 填-向量线性表示面积
• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直