2013-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及简单线性规划问题。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}3x+y-6\ge 0,\\ x-y-2\le 0,\\ y-3\le 0,\end{array}$ 则目标函数 $z=y-2x$ 的最小值为()

A. $-7$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画可行域：将不等式组转化为平面区域。
   • $3x+y-6=0$ 及其上方；
   • $x-y-2=0$ 及其左上方；
   • $y=3$ 及其下方。
2. 确定交点：求出可行域各顶点的坐标。
3. 分析目标函数：将 $z=y-2x$ 化为 $y=2x+z$。这里的 $z$ 代表直线在 $y$ 轴上的截距。截距越小，$z$ 越小。
4. 平移找最值：通过观察可行域顶点，确定截距最小时直线经过的顶点。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract


第一步：确定可行域 作出三条直线并阴影标注公共区域。

• 直线 $l_1:3x+y=6$
• 直线 $l_2:x-y=2$
• 直线 $l_3:y=3$

第二步：求顶点坐标 联立方程求交点：

• 由 $\{\begin{array}{l}3x+y=6\\ x-y=2\end{array}$ 得顶点 $B(2,0)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}3x+y=6\\ y=3\end{array}$ 得顶点 $C(1,3)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x-y=2\\ y=3\end{array}$ 得顶点 $A(5,3)$。 可行域为三角形 $ABC$。

第三步：求目标函数最小值 目标函数为 $z=y-2x$，变换得 $y=2x+z$。 这是一组斜率为 $2$ 的平行直线。当直线经过三角形的最右侧顶点 $A(5,3)$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距 $z$ 达到最小。 代入点 $A(5,3)$ 坐标： $z_{\min }=3-2\times 5=3-10=-7$

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的几何意义。注意目标函数 $z$ 是截距本身还是截距的相反数。

核心方法：“画、移、求、答”。对于简单的线性规划，代入顶点法通常最稳妥，但平移法能帮助理解。

避坑指南：画图要尽量准确。如果目标函数形式为 $z=Ax+By$，当 $B>0$ 时，截距 $z/B$ 与 $z$ 同向变化；当 $B<0$ 时，截距与 $z$ 反向变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组表示的平面区域、点到直线的距离。

结论推广：在线性规划中，目标函数的最值点通常出现在可行域的顶点（或边界线上）。

方法推广：若目标函数是非线性的（如 $z=\frac{y-b}{x-a}$），则需利用斜率或距离的几何意义。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划