2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量

本题导读

本题考查等差数列的前n项和，以及等差数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)）设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{8} = 4 a_{3}$ ， $a_{7} = - 2$ ，则 $a_{9} =$ ()

A. $- 6$ 　　　　　　　B. $- 4$ 　　　　　　　C. $- 2$ 　　　　　　　D. $2$

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$S_{8} = 8 a_{1} + 28 d$ ， $4 a_{3} = 4 a_{1} + 8 d$ → $8 a_{1} + 28 d = 4 a_{1} + 8 d$ → $a_{1} = - 5 d$ 。

$a_{7} = a_{1} + 6 d = d = - 2$ → $d = - 2$ ， $a_{1} = 10$ 。

$a_{9} = a_{1} + 8 d = 10 - 16 = - 6$ 。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列求和公式： $S_{8} = 8 a_{1} + \frac{8 \times 7}{2} d = 8 a_{1} + 28 d, 4 a_{3} = 4 (a_{1} + 2 d) = 4 a_{1} + 8 d .$ 由 $S_{8} = 4 a_{3}$ ： $8 a_{1} + 28 d = 4 a_{1} + 8 d \Rightarrow 4 a_{1} = - 20 d \Rightarrow a_{1} = - 5 d .$ 又 $a_{7} = a_{1} + 6 d = - 5 d + 6 d = d = - 2$ ，故 $d = - 2$ ， $a_{1} = 10$ 。于是 $a_{9} = a_{1} + 8 d = 10 + 8 \times (- 2) = - 6.$ （验算： $a_{9} = a_{7} + 2 d = - 2 - 4 = - 6$ 。）选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量运算

核心方法： $S_{8} = 4 a_{3}$ ： $8 a_{1} + 28 d = 4 a_{1} + 8 d \Rightarrow a_{1} = - 5 d$ ； $a_{7} = a_{1} + 6 d = d = - 2$ → $a_{9} = a_{1} + 8 d = - 6$

避坑指南： $S_{8} = 8 a_{1} + \frac{8 \times 7}{2} d = 8 a_{1} + 28 d$ ， $4 a_{3} = 4 a_{1} + 8 d$ ——公差项 $28 d$ 与 $8 d$ 别抄错； $a_{9} = a_{7} + 2 d$ 这条捷径可作验算： $- 2 + 2 \times (- 2) = - 6$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的前 n 项和与通项（基本量法，安徽卷选择题）。

结论推广： $S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 )}{2} d$ ； $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 。

方法推广：把 $S_{8}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{7}$ 全用 $a_{1}, d$ 表示 → 两条件解 $a_{1}, d$ → 求 $a_{9}$ 。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和

2013-北京卷文-11 填-等比数列求和

2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和

∑ ( Math )

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2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量

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