2013-山东卷文-01 单-复数模

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 复数 $z=\frac{(2-i{)}^2}{i}$（$i$ 为虚数单位），则 $|z|=$()

A. $25$　　　　　　　B. $\sqrt{41}$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. $|2-i|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，$|i|=1$。
2. $|z|=\frac{|2-i{|}^2}{|i|}=\frac{(\sqrt{5}{)}^2}{1}=5$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

方法一（模的性质）： $|z|=\frac{|(2-i{)}^2|}{|i|}=\frac{|2-i{|}^2}{|i|}=\frac{(\sqrt{5}{)}^2}{1}=5.$ 方法二（化简）：$(2-i{)}^2=4-4i+i^2=3-4i$， $z=\frac{3-4i}{i}=\frac{(3-4i)(-i)}{-i^2}=-4-3i,$ $|z|=\sqrt{(-4{)}^2+(-3{)}^2}=5.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法与模

核心方法：$(2-i{)}^2=3-4i$，$|z|=\frac{|3-4i|}{|i|}=\frac{5}{1}=5$——模的除法性质免化简

避坑指南：求模先用模的性质 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$：分子 $|2-i{|}^2=5$、分母 $|i|=1$，一步得 $5$；先除再取模容易算错 $i$ 的幂。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的四则运算与模（山东卷首题固定考点）。

结论推广：$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$，$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$；$|2-i|=\sqrt{5}$，$|i|=1$。

方法推广：复数求模两路：直接化简为 $a+bi$ 后 $\sqrt{a^2+b^2}$，或用模的乘除性质整体处理；选填题优先用性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法