2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥

本题导读

本题考查三视图，以及棱锥的侧面积与体积。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()

A. $4\sqrt{5}$，$8$　　　　B. $4\sqrt{5}$，$\frac{8}{3}$　　　　C. $4(\sqrt{5}+1)$，$\frac{8}{3}$　　　　D. $8$，$8$

🔍【思路分析】

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1. 侧棱都相等 + 底面正方形 → 正四棱锥；正视图底 $2$ 高 $2$ → 底边 $2$、高 $2$。
2. 斜高 $=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；$S_{侧}=4\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}$。
3. $V=\frac{1}{3}\times 2^2\times 2=\frac{8}{3}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由侧棱长都相等且底面是正方形，该四棱锥是正四棱锥。 由正（主）视图：底面正方形边长 $AB=2$，四棱锥的高 $PO=2$（$O$ 为底面中心，$O$ 到边 $AB$ 的距离 $OE=1$）。 斜高（侧面三角形的高）： $PE=\sqrt{P{O}^2+O{E}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.$ 侧面积： $S_{侧}=4\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=4\sqrt{5}.$ 体积： $V=\frac{1}{3}\times 2^2\times 2=\frac{8}{3}.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原正四棱锥

核心方法：正视图底 $2$ 高 $2$ → 底面正方形边长 $2$、棱锥高 $2$、斜高 $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$

避坑指南：正视图的底边长是底面正方形的边长而非对角线（侧棱都相等保证是正四棱锥）；斜高是视图三角形腰上到高的距离——侧面积用 $4\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}$，别误用侧棱长 $\sqrt{5}$ 当斜高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原与正四棱锥的侧面积、体积（全国卷必考）。

结论推广：正四棱锥：底面正方形边长 $a$、高 $h$、斜高 $h^{\prime }=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$；$S_{侧}=4\times \frac{1}{2}a{h}^{\prime }$，$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$。

方法推广：三视图计算三步：由视图读底面边长与高 → 勾股定理求斜高 → 分别套侧面积与体积公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积
• 2013-新课标II卷文-15 填-球表面积