2013-山东卷理-22 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、坐标分析法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，过 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $1$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $P{F}_1,P{F}_2$，设 $\angle F_{1}P{F}_2$ 的角平分线 $PM$ 交 $C$ 的长轴于点 $M(m,0)$，求 $m$ 的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，设直线 $P{F}_1,P{F}_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $k\ne 0$，试证明 $\frac{1}{k{k}_1}+\frac{1}{k{k}_2}$ 为定值，并求出这个定值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求方程）：利用通径公式（过焦点垂直于轴的弦长）$2\frac{b^2}{a}=1$ 以及离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 结合 $a^2=b^2+c^2$ 求解。
2. 第二问（求范围）：
   • 利用三角形角平分线性质定理：$\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}$。
   • 设 $|P{F}_1|=t$，$|P{F}_2|=n$，由椭圆定义知 $t+n=2a=4$。
   • 将比例关系转化为关于坐标的表达式，结合焦半径的取值范围（$a-c<n<a+c$）求出 $m$。
3. 第三问（定值证明）：
   • “直线 $l$ 与椭圆只有一个公共点”意味着 $l$ 是点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线。
   • 利用隐函数求导或公式法求出切线斜率 $k=-\frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}$。
   • 分别表示 $k_1,k_2$（点 $P$ 与焦点 $F_1,F_2$ 的斜率），带入目标式进行化简合并。

✅【答案】

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$-8$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由题意，过 $F_1$ 的直线为 $x=-c$，代入椭圆方程得 $|y|=\frac{b^2}{a}$。 通径长为 $\frac{2b^2}{a}=1$，即 $2b^2=a$。 又 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹c^2=\frac{3}{4}{a}^2$。 由 $a^2=b^2+c^2$ 得 $a^2=\frac{a}{2}+\frac{3}{4}{a}^2⟹\frac{1}{4}{a}^2=\frac{1}{2}a⟹a=2$。 则 $b^2=1,c=\sqrt{3}$。 椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

（2）解： 设 $P(x_0,y_0)$，焦半径 $|P{F}_1|=t,|P{F}_2|=n$。 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中，由角平分线性质得：$\frac{t}{n}=\frac{|M{F}_1|}{|M{F}_2|}=\frac{m-(-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-m}=\frac{m+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-m}$。 由椭圆定义 $t+n=4$，消去 $t$ 得 $n=\frac{2(\sqrt{3}-m)}{\sqrt{3}}$。 因为 $P$ 不在长轴端点，则 $a-c<n<a+c$，即 $2-\sqrt{3}<\frac{2(\sqrt{3}-m)}{\sqrt{3}}<2+\sqrt{3}$。 解得：$-\frac{3}{2}<m<\frac{3}{2}$。

（3）证明： 设 $P(x_0,y_0)$，则 $\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1⟹y_0^2=1-\frac{x_0^2}{4}$。 对椭圆方程求导得 $\frac{2x}{4}+2y{y}^{\prime }=0⟹k=y^{\prime }=-\frac{x_0}{4y_0}$。 直线 $P{F}_1,P{F}_2$ 的斜率为：$k_1=\frac{y_0}{x_0+\sqrt{3}},k_2=\frac{y_0}{x_0-\sqrt{3}}$。 则 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{x_0+\sqrt{3}}{y_0}+\frac{x_0-\sqrt{3}}{y_0}=\frac{2x_0}{y_0}$。 因此：$\frac{1}{k{k}_1}+\frac{1}{k{k}_2}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)=\left(-\frac{4y_0}{x_0}\right)\cdot \frac{2x_0}{y_0}=-8$。 这是一个定值。

故定值为：$-8$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的焦半径公式与切线斜率公式。

核心方法：切线斜率的导数求法。在处理点在曲线上求切线的问题时，导数法比判别法 $\Delta =0$ 计算量小得多。

避坑指南：* 第二问中 $m$ 的范围需排除端点，因为题干说明 $P$ 不在长轴端点。 * 第三问中 $k,k_1,k_2$ 的代数式合并时，要观察分子分母的消去关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的光学性质（从一个焦点发出的光经椭圆反射必过后焦点）。

结论推广：对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，过点 $P$ 的切线斜率 $k$ 与焦半径斜率满足 $\frac{1}{k{k}_1}+\frac{1}{k{k}_2}=-\frac{2a^2}{b^2}$。本题中 $-\frac{2\times 4}{1}=-8$。

方法推广：切线斜率的导数求法。在处理点在曲线上求切线的问题时，导数法比判别法 $\Delta =0$ 计算量小得多。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆