2013-广东卷文-04 单-诱导公式求值

本题导读

本题考查诱导公式，以及三角函数的求值。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 已知 $\sin \left(\frac{5\pi }{2}+\alpha \right)=\frac{1}{5}$，那么 $\cos \alpha =$()

A. $-\frac{2}{5}$　　　　　　B. $-\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{1}{5}$　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

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1. $\sin \left(\frac{5\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(2\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)$。
2. 诱导公式：$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$。
3. 故 $\cos \alpha =\frac{1}{5}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\sin$ 的周期为 $2\pi$， $\sin \left(\frac{5\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(2\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right).$ 由诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）： $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha .$ 所以 $\cos \alpha =\frac{1}{5}$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式化简求值

核心方法：$\sin \left(\frac{5\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(2\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha =\frac{1}{5}$

避坑指南：$\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$——先减去整周期 $2\pi$ 再用诱导公式；$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$ 是”奇变偶不变”，别错记成 $-\cos \alpha$（那是 $\frac{3\pi }{2}+\alpha$ 的公式）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式与三角求值（周期归零 + 奇变偶不变，广东卷选择题）。

结论推广：去掉 $2k\pi$ 整周期；$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$。

方法推广：化角（减整周期）→ 套诱导公式 → 直接得 $\cos \alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-浙江卷文-03 单-充要条件判定