2013-广东卷文-12 填-导数切线平行

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及导数的运算法则。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 若曲线 $y=a{x}^2-\ln x$ 在点 $(1,a)$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=2ax-\frac{1}{x}$。
2. 切线平行于 $x$ 轴 → $y^{\prime }(1)=2a-1=0$。
3. $a=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

求导： $y^{\prime }=2ax-\frac{1}{x}.$ 切线平行于 $x$ 轴，即切线斜率为 $0$，故 $y^{\prime }{|}_{x=1}=2a-\frac{1}{1}=2a-1=0,$ 解得 $a=\frac{1}{2}.$ （此时切点 $(1,\frac{1}{2})$ 确在曲线上，满足题意。） 故答案为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线平行于 x 轴）

核心方法：$y^{\prime }=2ax-\frac{1}{x}$，$y^{\prime }(1)=2a-1=0$ → $a=\frac{1}{2}$

避坑指南：“切线平行于 $x$ 轴” ⟺ 切线斜率为 $0$——即 $y^{\prime }(1)=0$；$x=1$ 处 $\frac{1}{x}=1$ 别算成 $0$；对 $\ln x$ 求导是 $\frac{1}{x}$（负号在原函数里），求导后符号别弄丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义与切线（平行条件定参，广东卷填空题）。

结论推广：$(x^2{)}^{\prime }=2x$，$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$；平行于 $x$ 轴 ⟺ $y^{\prime }=0$。

方法推广：求导 → 代 $x=1$ 令导数为零 → 解出 $a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-11 填-导数切线
• 2014-江西卷文-11 填-导数切线
• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线