2013-广东卷理-13 填-简单线性规划的应用

本题导读

本题考查线性规划，以及简单线性规划的应用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 给定区域 $D:\{\begin{array}{l}x+4y\ge 4\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\end{array}$.令点集 $T=\{(x_0,y_0)\in D|x_0,y_0\in \mathbb{Z},(x_0,y_0)\text{ 是 }z=x+y\text{ 在 }D\text{ 上取得最大值或最小值的点}\}$，则 $T$ 中的点共确定 $\underline{}$ 条不同的直线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在平面直角坐标系中画出三个不等式确定的封闭三角形区域 $D$。其顶点坐标分别为 $A(0,1),B(0,4),C(4,0)$。
2. 平移目标函数：目标函数 $z=x+y$，即 $y=-x+z$。斜率为 $-1$ 的直线，截距越大 $z$ 越大。
3. 寻找最值整点：
   • 最大值：直线 $y=-x+z$ 与 $x+y=4$ 重合。该线段上的所有整点均使 $z$ 达到最大值 $4$。
   • 最小值：直线在向下平移过程中，最后经过顶点 $A(0,1)$ 时，$z$ 达到最小值 $1$。
4. 确定点集 $T$：列出上述所有满足条件的整点。
5. 计算直线条数：利用组合数或枚举法计算 $T$ 中点两两连接所确定的不重合直线条数。

✅【答案】

点击查看答案

6

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域及其边界 可行域 $D$ 是由直线 $l_1:x+4y=4,l_2:x+y=4,l_3:x=0$ 围成的三角形区域。

第二步：求最值对应的整点 目标函数 $z=x+y$ 的斜率为 $-1$，与边界 $x+y=4$ 的斜率相同。

• 最大值：当 $z=4$ 时，直线 $x+y=4$ 在 $D$ 内的整点有：$(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$。
• 最小值：当直线 $x+y=z$ 经过点 $(0,1)$ 时，$z=1$ 为最小值。此时整点只有 $(0,1)$。 因此，点集 $T=\{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),(0,1)\}$。共有 6 个点。

第三步：计算确定的直线条数 记这 6 个点为 $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$（在直线 $x+y=4$ 上）和 $Q(0,1)$。

1. $P_1\sim P_5$ 五点共线，确定 1 条直线（即 $x+y=4$）。
2. 点 $Q(0,1)$ 与 $P_1\sim P_5$ 分别连接，由于 $Q$ 不在直线 $x+y=4$ 上，且这五条连线的斜率均不相等：
   • $Q(0,1)$ 与 $(0,4)$ 确定直线 $x=0$；
   • $Q(0,1)$ 与 $(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$ 分别确定 4 条不同的斜直线。 共确定 5 条直线。

总计：$1+5=6$ 条。

故答案为：6。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划中目标函数与边界平行时，最值点有无穷多个（但整点是有限的）。 2. 核心技巧：“整点搜索”。在 $x+y=4$ 这种截距式非常明显的直线段上，可以通过横坐标从 0 到 4 逐个代入快速找到所有整点。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算直线条数时，务必注意“多点共线”的情况。本题中最大值对应的 5 个点全部在同一条直线上，只能算 1 条。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$n$ 个点最多确定 $C_n^2$ 条直线；若有 $k$ 点共线，则减少 $C_k^2-1$ 条。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于非线性目标函数（如 $z=x^2+y^2$），通常考查到原点的距离平方，寻找可行域内距离原点最近/最远的整点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划