2013-广东卷理-14 填-参数方程化普通方程

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及参数方程化普通方程。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\cos t\\ y=\sqrt{2}\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数)，$C$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 $l$.以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 $l$ 的极坐标方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 参数方程化普通方程：利用 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ 消去参数 $t$，识别曲线 $C$ 的几何形状（圆）。
2. 求切线直角坐标方程：
   • 确认点 $(1,1)$ 在圆上。
   • 利用圆心与切点连线垂直于切线的性质，或直接利用圆的切线公式求解。
3. 直角坐标化极坐标：利用互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 进行替换并化简。

✅【答案】

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$\rho (\cos \theta +\sin \theta )=2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：消去参数，确定曲线 $C$ 的方程 由曲线 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\cos t\\ y=\sqrt{2}\sin t\end{array}$，两式平方相加得： $x^2+y^2=(\sqrt{2}\cos t{)}^2+(\sqrt{2}\sin t{)}^2=2({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)=2$ 故曲线 $C$ 是以原点 $(0,0)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。

第二步：求切线 $l$ 的直角坐标方程 点 $(1,1)$ 在圆 $x^2+y^2=2$ 上。 由于圆心在原点，圆在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程公式为 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$。 代入点 $(1,1)$ 得切线 $l$ 的方程为： $1\cdot x+1\cdot y=2⟹x+y=2$

第三步：转化为极坐标方程 将 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$ 代入 $x+y=2$： $\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =2$ 整理得： $\rho (\cos \theta +\sin \theta )=2$ 利用辅助角公式化简： $\sqrt{2}\rho \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta \right)=2⟹\sqrt{2}\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=2$ 即 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$。 同理，也可以表示为 $\rho \cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$。

故答案为：$\rho \cos \theta +\rho \sin \theta -2=0$ (或 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$ 或 $\rho \cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式。 2. 核心技巧：“圆的切线速算法”。对于圆心在原点的圆，其切线方程可以通过“平方法变乘积法”快速写出（即 $x^2\to x_{0}x$）。

核心方法：见详细解析

避坑指南：在极坐标化简过程中，注意辅助角公式的准确应用，确保等号两边的常数项计算无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：若曲线不是圆而是椭圆，切线斜率可以通过隐函数求导或参数方程求导得出。

结论推广：见详细解析。

方法推广：极坐标方程 $\rho =2a\cos \theta$ 表示的是过原点且圆心在极轴上的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程