2013-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查含绝对值不等式的解法。核心在于零点分段去绝对值、转化为最值的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）已知函数 $f(x)=|2x-1|+|2x+a|$，$g(x)=x+3$.

(1)当 $a=-2$ 时，求不等式 $f(x)<g(x)$ 的解集；

(2)设 $a>-1$，且当 $x\in \left[-\frac{a}{2},\frac{1}{2}\right)$ 时，$f(x)⩽g(x)$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. （1）零点为 $x=\frac{1}{2}$、$x=1$，分三段去绝对值解不等式。
2. （2）$a>-1$ 时在 $x\in \left[-\frac{a}{2},\frac{1}{2}\right)$ 上 $2x+a⩾0$、$2x-1<0$，故 $f(x)=(2x+a)+(1-2x)=a+1$，条件化为 $a+1⩽x+3$ 恒成立。

✅【答案】

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(1)$(0,2)$；(2)$\left(-1,\frac{4}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 当 $a=-2$ 时，$f(x)=|2x-1|+|2x-2|$，令 $2x-1=0$、$2x-2=0$ 得零点 $x=\frac{1}{2}$、$x=1$。

• 当 $x<\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=(1-2x)+(2-2x)=3-4x<3$ 得 $x>0$，故 $0<x<\frac{1}{2}$；
• 当 $\frac{1}{2}⩽x<1$ 时，$f(x)=(2x-1)+(2-2x)=1<3$ 恒成立，故 $\frac{1}{2}⩽x<1$；
• 当 $x⩾1$ 时，$f(x)=(2x-1)+(2x-2)=4x-3<3$ 得 $x<\frac{3}{2}$，故 $1⩽x<\frac{3}{2}$。 综上，解集为 $(0,2)$。

（2） 当 $a>-1$、$x\in \left[-\frac{a}{2},\frac{1}{2}\right)$ 时，$x⩾-\frac{a}{2}$ 给出 $2x+a⩾0$，$x<\frac{1}{2}$ 给出 $2x-1<0$，所以 $f(x)=|2x-1|+|2x+a|=(2x+a)+(1-2x)=a+1.$ 条件 $f(x)⩽g(x)$ 化为 $a+1⩽x+3$，即 $a⩽x+2$ 对一切 $x\in \left[-\frac{a}{2},\frac{1}{2}\right)$ 成立。 因为 $x+2$ 在该区间上单调递增，其下确界在 $x\to -\frac{a}{2}$ 处取到，为 $\frac{4-a}{2}$，故只需 $a⩽\frac{4-a}{2}⟹2a⩽4-a⟹3a⩽4⟹a⩽\frac{4}{3}.$ 又 $a>-1$，所以 $a$ 的取值范围是 $\left(-1,\frac{4}{3}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值不等式的解法与恒成立

核心方法：零点分段去绝对值、转化为最值

避坑指南：（2）中”在给定区间上 $2x+a⩾0$、$2x-1<0$“是去绝对值的关键前提，必须先判断内层符号再化简；端点取舍（$x=\frac{1}{2}$ 不取、$x=-\frac{a}{2}$ 取）会影响下确界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式选讲（选修 4-5）绝对值不等式。

结论推广：$|f(x)|⩽g(x)⟺-g(x)⩽f(x)⩽g(x)$；含两个绝对值时用零点分段更直接。

方法推广：绝对值恒成立两步：先判断区间内绝对值内层的符号去绝对值，再转化为最值（或分离参数）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-新课标I卷文-24 解-基本不等式
• 2014-新课标I卷理-24 解-算术-几何平均值不等式