2013-新课标I卷理-19 解-二项分布

本题导读

本题考查独立重复试验。核心在于分步计算法、互斥事件加法公式的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 $n$.如果 $n=3$，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n=4$，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为 $50\%$，即取出的产品是优质品的概率都为 $1/2$，且各件产品是否为优质品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$（单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析检验通过路径：
   • 路径一：第一批 4 件中恰有 3 件优质品 ($n=3$)，且第二批 4 件全为优质品。
   • 路径二：第一批 4 件中全为优质品 ($n=4$)，且第二批 1 件全为优质品。
2. 计算概率：利用独立重复试验的概率公式（二项分布 $B(n,p)$）分别计算各路径概率并相加。
3. 确定费用分布：
   • 若 $n<3$，只检验第一批，费用为 $4\times 100=400$。
   • 若 $n=4$，检验两批共 $4+1=5$ 件，费用为 $500$。
   • 若 $n=3$，检验两批共 $4+4=8$ 件，费用为 $800$。
4. 求期望：列出分布列，利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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$\frac{3}{64}$；506.25

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设第一次抽取的 4 件中优质品件数为 $n$，则 $n\sim B(4,\frac{1}{2})$。 $P(n=3)=C_4^3(\frac{1}{2}{)}^3(1-\frac{1}{2}{)}^1=\frac{4}{16}$； $P(n=4)=C_4^4(\frac{1}{2}{)}^4=\frac{1}{16}$。

通过检验的事件 $A$ 分为两种互斥情况：

• 对应 $n=3$：$P(A|n=3)=P(\text{第二批 4 件皆优质})=(\frac{1}{2}{)}^4=\frac{1}{16}$。
• 对应 $n=4$：$P(A|n=4)=P(\text{第二批 1 件为优质})=\frac{1}{2}$。

故 $P(A)=P(n=3)\cdot \frac{1}{16}+P(n=4)\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{16}\cdot \frac{1}{16}+\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{2}=\frac{4}{256}+\frac{8}{256}=\frac{12}{256}=\frac{3}{64}$。 所以这批产品通过检验的概率为 $\frac{3}{64}$。

（Ⅱ）解： 由题意可知，$X$ 的可能取值为 $400,500,800$。

• 当 $n=3$ 时，需检验 $4+4=8$ 件，费用 $X=800$，其概率 $P(X=800)=P(n=3)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$；
• 当 $n=4$ 时，需检验 $4+1=5$ 件，费用 $X=500$，其概率 $P(X=500)=P(n=4)=\frac{1}{16}$；
• 当 $n<3$ 时，只检验第一批 4 件，费用 $X=400$，其概率 $P(X=400)=1-\frac{4}{16}-\frac{1}{16}=\frac{11}{16}$。

$X$ 的分布列如下：

$X$	400	500	800
$P$	$\frac{11}{16}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$

数学期望： $E(X)=400\times \frac{11}{16}+500\times \frac{1}{16}+800\times \frac{1}{4}=275+31.25+200=506.25$。 所以 $X$ 的数学期望为 506.25 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验概率计算；离散型随机变量及其分布列、期望。

核心方法：分类讨论法。将复杂的检验过程拆解为不同的费用等级，确保不重不漏。

避坑指南：- 第一问中，注意通过检验的概率是“条件概率之和”，不要漏乘第一阶段的概率。 - 第二问中，只要进入第二阶段检验，无论结果如何费用都已经产生。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：条件概率、全概率公式。

结论推广：此类题目反映了实际生产中的“抽样检验方案”设计。

方法推广：在计算期望时，若变量服从特殊分布（如二项分布、超几何分布），可直接套用公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2025-天津卷-13 填-二项分布
• 2023-新高考II卷-12 多-二项分布
• 2026-上海卷-08 填-分布列