2013-新课标I卷理-22 解-弦切角定理

本题导读

本题考查圆。核心在于几何证明法、三角计算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，直线 $AB$ 为圆的切线，切点为 $B$，点 $C$ 在圆上，$\angle ABC$ 的角平分线 $BE$ 交圆于点 $E$，$DB\perp BE$ 交圆于点 $D$.

(1)证明：$DB=DC$；

(2)设圆的半径为 1，$BC=\sqrt{3}$，延长 $CE$ 交 $AB$ 于点 $F$，求 $△BCF$ 外切圆的半径.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明）：
   • 利用弦切角定理：$\angle ABE=\angle BCE$。
   • 利用角平分线性质：$\angle ABE=\angle CBE$。
   • 推出 $\angle CBE=\angle BCE$，从而得到弧 $CE=$ 弧 $BE$，进而推出 $△DBE$ 与 $△DCE$ 的全等关系或角度等价性。
   • 注意 $DB\perp BE$ 说明 $DE$ 是圆的直径。
2. 第二问（计算）：
   • 已知半径 $R=1$，$BC=\sqrt{3}$。根据正弦定理，在 $△ABC$ 相关的圆中，可得 $\angle BAC$ 或圆周角的大小。
   • 确定各角度的具体数值（如 $30^{\circ },60^{\circ }$ 等）。
   • 判定 $△BCF$ 的形状，若是直角三角形，外接圆半径即为斜边的一半。

✅【答案】

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$DB=DC$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明：


连接 $DE,DC$。 由弦切角定理可知，$\angle ABE=\angle BCE$。 因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，所以 $\angle ABE=\angle CBE$。 从而 $\angle CBE=\angle BCE$，因此 $BE=CE$。 因为 $DB\perp BE$，且 $D,B,E$ 均在圆上，所以 $DE$ 是圆的直径。 在 $△DBE$ 与 $△DCE$ 中：

• $DE$ 是公共边（直径）；
• $\angle DBE=\angle DCE=90^{\circ }$（直径所对圆周角）；
• $BE=CE$（已证）。 由 $HL$ 判定定理得 $△DBE\cong △DCE$。 故 $DB=DC$。

（Ⅱ）解： 连接 $BC$ 的中点 $G$ 与圆心 $O$。 由（Ⅰ）可知 $\angle CDE=\angle BDE$，$DB=DC$，故 $DE$ 垂直平分 $BC$。 在 $△OBC$ 中，$OB=OC=1$（半径），$BC=\sqrt{3}$。 由余弦定理或垂径定理：$\cos \angle BOC=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{3}{)}^2}{2\cdot 1\cdot 1}=-\frac{1}{2}$。 得 $\angle BOC=120^{\circ }$，从而弧 $BC$ 所对的圆周角 $\angle BEC=60^{\circ }$。

因为 $BE=CE$ 且 $\angle BEC=60^{\circ }$，所以 $△BCE$ 是等边三角形。 则 $\angle CBE=\angle BCE=60^{\circ }$。 又由 $\angle ABE=\angle CBE=60^{\circ }$，可知 $\angle ABC=120^{\circ }$。 在 $△BCF$ 中，$\angle BCF=60^{\circ }$。 由于 $AB$ 为切线，$OB\perp AB$，利用角度关系可证 $\angle CBF=30^{\circ }$（或者通过弦切角 $\angle ABE=60^{\circ }$ 直接分析）。 此时 $\angle BFC=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$。 故 $△BCF$ 是直角三角形，其外接圆半径为斜边 $BC$ 的一半。 $R_{△BCF}=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 所以 $△BCF$ 外接圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直径所对圆周角为直角；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

核心方法：全等转化法。第一问中利用直径构造直角三角形全等是几何证明的经典套路。

避坑指南：- 不要漏掉 $DE$ 是直径这一关键信息，它是联系垂直关系与圆心性质的桥梁。 - 第二问中角度计算要准确，注意区分圆心角与圆周角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线长定理、相交弦定理、切割线定理。

结论推广：在圆的切线与弦构成的图形中，角平分线常能引出等腰三角形或等弧。

方法推广：对于求解三角形外接圆半径，优先考虑是否为直角三角形；若不是，则使用正弦定理 $R=\frac{a}{2\sin A}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦