2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查二倍角公式与降幂公式，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 已知 $\sin 2\alpha =\frac{2}{3}$，则 ${\cos }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 降幂：${\cos }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)}{2}$。
2. 诱导公式：$\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2\alpha =-\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式 ${\cos }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)}{2}.$ 又由诱导公式 $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2\alpha$，而 $\sin 2\alpha =\frac{2}{3}$，所以 $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{2}{3}.$ 代入得 ${\cos }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1-\frac{2}{3}}{2}=\frac{\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{6}.$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换（降幂公式）

核心方法：用 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ 降幂，凑出与已知 $\sin 2\alpha$ 相关的角

避坑指南：降幂后被求式化为 $\frac{1-\sin 2\alpha }{2}$ 还是 $\frac{1+\sin 2\alpha }{2}$ 要看角的搭配：$2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=2\alpha +\frac{\pi }{2}$，故用 $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2\alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换（全国卷必考小题）。

结论推广：${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$，${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2}$。

方法推广：给值求值的套路：先把”待求角”写成”已知角”的线性组合，再用降幂、诱导公式统一到同一个角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-14 填-三角恒等变换
• 2013年新课标Ⅱ理-6
• 2013年新课标Ⅱ理-15