2013-新课标II卷文-14 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$E$ 为 $CD$ 的中点，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BD}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建系：取 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(2,2)$、$D(0,2)$。
2. $E$ 为 $CD$ 中点，故 $E(1,2)$；$\overrightarrow{AE}=(1,2)$。
3. $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=(-2,2)$，点乘即得。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2).$ 因为 $E$ 为 $CD$ 的中点，所以 $E(1,2)$。于是 $\overrightarrow{AE}=(1,2),$ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=(0,2)-(2,0)=(-2,2).$ 所以 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BD}=1\times (-2)+2\times 2=-2+4=2.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积（坐标法）

核心方法：建立坐标系写出向量坐标，用 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

避坑指南：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$（终点减起点），不要写成 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$；建系后各点坐标要与图形顺序一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积（全国卷必考小题）。

结论推广：$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$；$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$。

方法推广：规则图形求数量积首选坐标法：以直角顶点为原点建系，写出坐标后直接点乘，避免用夹角与模硬算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-04 单-向量数量积
• 2015-新课标II卷文-04 单-平面向量
• 2013年新课标Ⅱ理-14