2013-新课标II卷文-15 填-球表面积

本题导读

本题考查正四棱锥的体积，以及球的表面积。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 已知正四棱锥 $O-ABCD$ 的体积为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，底面边长为 $\sqrt{3}$，则以 $O$ 为球心，$OA$ 为半径的球的表面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_{\text{底}}=(\sqrt{3}{)}^2=3$，由 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$ 求高 $h$。
2. 底面正方形外接圆半径 $r=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
3. $O{A}^2=h^2+r^2$，$S=4\pi O{A}^2$。

✅【答案】

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$24\pi$

✍【详细解析】

Abstract

底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形，故 $S_{\text{底}}=(\sqrt{3}{)}^2=3.$ 由正四棱锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$： $\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{3}\times 3\times h⟹h=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$ 设底面中心为 $M$，则 $M$ 到顶点 $A$ 的距离为底面正方形对角线的一半： $MA=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$ 因为 $OM\perp$ 底面，所以 $O{A}^2=O{M}^2+M{A}^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^2=\frac{18}{4}+\frac{6}{4}=\frac{24}{4}=6.$ 所以球的表面积 $S=4\pi O{A}^2=4\pi \times 6=24\pi .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥的体积与外接球表面积

核心方法：由体积公式反解高，再用勾股定理求球半径

避坑指南：底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形，底面外接圆半径 $=\frac{\sqrt{2}}{2}\times$ 边长 $=\frac{\sqrt{6}}{2}$，不要误算成边长的一半；球心在顶点 $O$，半径是 $OA$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间几何体的体积与球的表面积（全国卷常考）。

结论推广：正四棱锥 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$；球的表面积 $S=4\pi R^2$；正四棱锥顶点、底面中心与外接球球心共线。

方法推广：求外接球半径两步：先由体积求高，再在”顶点—底面中心—底面顶点”的直角三角形中用勾股定理求 $R$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积
• 2014-新课标II卷文-07 单-三棱锥体积
• 2013年新课标Ⅱ理-15