2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移

本题导读

本题考查三角函数的图象平移，以及诱导公式与同名化。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 函数 $y=\cos (2x+\phi )$（$-\pi ⩽\phi <\pi$）的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位后，与函数 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象重合，则 $\phi =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 向右平移 $\frac{\pi }{2}$：$y=\cos \left[2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+\phi \right]=\cos (2x-\pi +\phi )$。
2. 同名化：$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
3. 两式恒等即相位相差 $2k\pi$。

✅【答案】

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$\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

把 $y=\cos (2x+\phi )$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位，所得函数为 $y=\cos \left[2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+\phi \right]=\cos (2x-\pi +\phi ).$ 又由诱导公式， $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left[\left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right).$ 两图象重合，则对一切 $x$ 有 $\cos (2x-\pi +\phi )=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，故 $-\pi +\phi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z}),$ 即 $\phi =\frac{5\pi }{6}+2k\pi .$ 因为 $-\pi ⩽\phi <\pi$，取 $k=0$ 得 $\phi =\frac{5\pi }{6}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的图象平移与同名化

核心方法：把两个函数化为同名函数（都化成余弦），再由平移后相位相等（相差 $2k\pi$）列方程

避坑指南：$\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$，注意减 $\frac{\pi }{2}$ 的方向别做反；“向右平移 $\frac{\pi }{2}$“是 $x\to x-\frac{\pi }{2}$，括号内减 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的图象变换（全国卷常考）。

结论推广：$y=f(x)$ 向右平移 $a$（$a>0$）个单位得 $y=f(x-a)$；$\sin \theta =\cos \left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)$。

方法推广：平移型求参两步：先同名化（统一成正弦或余弦），再”图象重合$⟺$相位差为 $2k\pi$“列方程，最后由给定范围定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性
• 2015-新课标II卷文-13 填-函数解析式
• 2013年新课标Ⅱ理-16