2013-新课标II卷文-17 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于列方程求公差、子列求和的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差不为零，$a_1=25$，且 $a_1$，$a_{11}$，$a_{13}$ 成等比数列.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)求 $a_1+a_4+a_7+\cdots +a_{3n-2}$.

🔍【思路分析】

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1. $a_{11}=25+10d$，$a_{13}=25+12d$，由 $a_{11}^2=a_1{a}_{13}$ 得 $100d(d+2)=0$。
2. $d\ne 0$ 故 $d=-2$，从而 $a_n=27-2n$。
3. 第 $k$ 项为 $a_{3k-2}=31-6k$，仍是等差数列，首项 $25$、末项 $31-6n$，共 $n$ 项。

✅【答案】

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(1)$a_n=27-2n$；(2)$n(28-3n)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\ne 0$），则 $a_{11}=25+10d,a_{13}=25+12d.$ 由 $a_1$，$a_{11}$，$a_{13}$ 成等比数列，得 $a_{11}^2=a_1{a}_{13},$ 即 $(25+10d{)}^2=25(25+12d).$ 展开：$625+500d+100d^2=625+300d$，整理得 $100d^2+200d=0⟹100d(d+2)=0.$ 因为 $d\ne 0$，所以 $d=-2$，从而 $a_n=25+(n-1)\times (-2)=27-2n.$ （2） 由通项，对 $k=1,2,\dots ,n$， $a_{3k-2}=27-2(3k-2)=31-6k.$ 所以 $a_1$，$a_4$，$a_7$，$\dots$，$a_{3n-2}$ 构成首项为 $25$、末项为 $31-6n$、项数为 $n$ 的等差数列，故 $a_1+a_4+a_7+\cdots +a_{3n-2}=\frac{n\left[25+(31-6n)\right]}{2}=\frac{n(56-6n)}{2}=n(28-3n).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的通项与性质、等比中项

核心方法：用等比中项列方程求公差，再对下标成等差的项求和

避坑指南：等比条件写的是 $a_{11}^2=a_1{a}_{13}$（三项中中项在中间），下标成等差则三项成等比；不要写成 $a_{13}^2=a_1{a}_{11}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与等比数列的综合（全国卷必考大题）。

结论推广：$a_1$，$a_{11}$，$a_{13}$ 成等比数列 $⟺a_{11}^2=a_1{a}_{13}$（下标 $1,11,13$ 并不成等差，故不能用中项性质反推，只能直接算）。

方法推广：数列求和先”认结构”：本题 $a_1,a_4,a_7,\dots ,a_{3n-2}$ 是原数列中下标成等差的子列，子列仍是等差数列，直接用首末项求公差公式求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-05 单-等差等比数列
• 2015-新课标II卷文-05 单-等差数列
• 2013年新课标Ⅱ理-17