2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于向量线性表示证平行、坐标法求体积的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$B{B}_1$ 的中点.

(1)证明：$B{C}_1\parallel$ 平面 $A_{1}CD$；

(2)设 $A{A}_1=AC=CB=2$，$AB=2\sqrt{2}$，求三棱锥 $C-A_{1}DE$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）因为 $D$、$E$ 为中点，可把 $\overrightarrow{B{C}_1}$ 用平面 $A_{1}CD$ 内的向量 $\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{D{A}_1}$ 表示出来。
2. （2）$AC=CB=2$、$AB=2\sqrt{2}$，故 $\angle ACB=90^{\circ }$；以 $C$ 为原点建系，写出 $A_1$、$D$、$E$ 坐标，用混合积求体积。

✅【答案】

点击查看答案

(1)证明见解析；(2)$1$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 取 $C$ 为参考点。因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是直三棱柱，所以 $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1},\overrightarrow{C{B}_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{C{C}_1}.$ 又 $D$ 是 $AB$ 的中点，故 $\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.$ 于是 $\overrightarrow{B{C}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}-\overrightarrow{CB}.$ 另一方面，由 $D$ 为 $AB$ 中点、$B_1$ 为 $B{B}_1$ 端点可得 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB},$ $\overrightarrow{D{A}_1}=\overrightarrow{C{A}_1}-\overrightarrow{CD}=\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}_1}\right)-\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}_1}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.$ 则 $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{A}_1}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\right)+\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}_1}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{C{C}_1}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{C{B}_1}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{B{C}_1}.$ 这说明 $\overrightarrow{B{C}_1}$ 是平面 $A_{1}CD$ 内两个向量 $\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{D{A}_1}$ 的线性组合，故 $B{C}_1$ 平行于平面 $A_{1}CD$。 又 $B\notin$ 平面 $A_{1}CD$，所以 $B{C}_1\parallel \text{平面}{A}_{1}CD.$ （2） 由 $AC=CB=2$，$AB=2\sqrt{2}$，得 $A{C}^2+C{B}^2=4+4=8=A{B}^2,$ 故 $\angle ACB=90^{\circ }$。 以 $C$ 为原点，$CA$ 为 $x$ 轴、$CB$ 为 $y$ 轴、$C{C}_1$（棱柱的高方向）为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A_1(2,0,2).$ 因为 $D$ 是 $AB$ 的中点、$E$ 是 $B{B}_1$ 的中点，且 $A{A}_1=2$，所以 $D(1,1,0),E(0,2,1).$ 三棱锥 $C-A_{1}DE$ 的体积为 $V=\frac{1}{6}\left|\det \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 1& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\right|.$ 计算行列式： $\det =2(1\times 1-0\times 2)-0\times (1\times 1-0\times 0)+2(1\times 2-1\times 0)=2\times 1+2\times 2=2+4=6.$ 所以 $V=\frac{1}{6}\times 6=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定与三棱锥的体积

核心方法：用平面内的两条相交向量线性表示 $\overrightarrow{B{C}_1}$ 证平行；体积用”等体积转换 + 坐标（向量）法”

避坑指南：证线面平行必须说明”直线在平面外”（$B\notin$ 平面 $A_{1}CD$），否则不完整；求体积时选择底面与高要方便——本题以 $C$ 为原点建系，用混合积最稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何中的平行证明与体积计算（全国卷必考大题）。

结论推广：线面平行判定：若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行；向量语言即 $\overrightarrow{B{C}_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{A}_1}$。

方法推广：求三棱锥体积：能”换底”就换底（选面积易算且高易求的面），或建系用混合积 $V=\frac{1}{6}\left|\det \right|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离
• 2015-新课标II卷文-19 解-立体几何截面
• 2013年新课标Ⅱ理-18