2013-新课标II卷理-08 单-对数运算

本题导读

本题考查对数函数，以及对数运算性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 8. 设 $a={\log }_{3}6$, $b={\log }_{5}10$, $c={\log }_{7}14$, 则()

A. $c>b>a$　　B. $b>c>a$　　C. $a>c>b$　　D. $a>b>c$

🔍【思路分析】

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9. 统一结构：利用对数性质 ${\log }_x(xy)=1+{\log }_{x}y$，将 $a,b,c$ 转化为：
   • $a={\log }_3(3\times 2)=1+{\log }_{3}2$
   • $b={\log }_5(5\times 2)=1+{\log }_{5}2$
   • $c={\log }_7(7\times 2)=1+{\log }_{7}2$
10. 比较剩余项：问题转化为比较 ${\log }_{3}2,{\log }_{5}2,{\log }_{7}2$ 的大小。
11. 利用图象或公式判断：
    • 方法一（公式法）：利用换底公式 ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}$。由于 ${\log }_{2}x$ 是增函数，底数越大，倒数值越小。
    • 方法二（图象法）：在同一坐标系中画出不同底数的对数函数图象，观察真数为 2 时的纵坐标高低。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：拆分对数式 由对数的运算性质 ${\log }_M(MN)=1+{\log }_{M}N$：

• $a={\log }_{3}6={\log }_3(3\times 2)=1+{\log }_{3}2$
• $b={\log }_{5}10={\log }_5(5\times 2)=1+{\log }_{5}2$
• $c={\log }_{7}14={\log }_7(7\times 2)=1+{\log }_{7}2$

第二步：比较剩余项的大小 我们需要比较 ${\log }_{3}2,{\log }_{5}2,{\log }_{7}2$。 使用换底公式转化为底数为 2 的形式： ${\log }_{3}2=\frac{1}{{\log }_{2}3}$ ${\log }_{5}2=\frac{1}{{\log }_{2}5}$ ${\log }_{7}2=\frac{1}{{\log }_{2}7}$

因为对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上是增函数，且 $3<5<7$， 所以 $0<{\log }_{2}3<{\log }_{2}5<{\log }_{2}7$。 取倒数后不等号方向改变： $\frac{1}{{\log }_{2}3}>\frac{1}{{\log }_{2}5}>\frac{1}{{\log }_{2}7}$ 即 ${\log }_{3}2>{\log }_{5}2>{\log }_{7}2$。

第三步：得出结论 同时加上 1，不等关系不变： $1+{\log }_{3}2>1+{\log }_{5}2>1+{\log }_{7}2$ 即 $a>b>c$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数的单调性以及“底数越大，图象在第一象限越靠近 $x$ 轴”的性质。

核心方法：分离常数法。将复杂的对数比较转化为具有相同真数的对数比较，是解决此类问题的常用套路。

避坑指南：容易混淆 ${\log }_{a}b$ 中 $a$ 变化时对数值的变化方向。记住：当真数 $b>1$ 时，底数 $a$ 越大，对数值越小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数函数的大小比较、换底公式的综合应用。

结论推广：对于 ${\log }_n(n+k)$ 型的数（$k>0$），随着 $n$ 的增大，该数值逐渐减小并趋向于 1。

方法推广：比较大小时还可以利用“中间量法”，例如找 $1$ 或 $1.5$ 作为基准进行比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

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