2013-新课标II卷理-16 填-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列，以及等差数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 16. 等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 已知 $S_{10}=0$, $S_{15}=25$, 则 $n{S}_n$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出数列基本元：设等差数列首项为 $a_1$, 公差为 $d$。利用 $S_{10}=0$ 和 $S_{15}=25$ 建立方程组，解出 $a_1$ 和 $d$。
2. 构造目标函数：根据求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 写出 $S_n$ 的解析式，进而构造函数 $f(n)=n{S}_n$。
3. 寻找最值点：
   • 将 $n$ 视为连续变量 $x$, 利用导数 $f^{\prime }(x)$ 寻找函数的极值点。
   • 由于 $n$ 必须为正整数，比较极值点两侧最近的整数对应的函数值，确定最小值。

✅【答案】

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$-49$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解数列解析式 设等差数列的首项为 $a_1$, 公差为 $d$。 由 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 得： $\{\begin{array}{l}{S}_{10}=10a_1+45d=0\\ S_{15}=15a_1+105d=25\end{array}$ 解得：$a_1=-3$, $d=\frac{2}{3}$。

则 $S_n=-3n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{2}{3}=-3n+\frac{1}{3}(n^2-n)=\frac{1}{3}{n}^2-\frac{10}{3}n$。

第二步：构造并分析函数 $f(n)=n{S}_n$ 令 $f(n)=n{S}_n=\frac{1}{3}{n}^3-\frac{10}{3}{n}^2$。 将 $n$ 看作连续变量 $x$, 求导得： $f^{\prime }(x)=x^2-\frac{20}{3}x=x(x-\frac{20}{3})$。

令 $f^{\prime }(x)=0$, 得 $x_1=0$（舍去）, $x_2=\frac{20}{3}\approx 6.67$。 当 $x<\frac{20}{3}$ 时, $f^{\prime }(x)<0$, 函数单调递减； 当 $x>\frac{20}{3}$ 时, $f^{\prime }(x)>0$, 函数单调递增。

第三步：确定整数解下的最小值 由于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$, 最小值必在 $x=6.67$ 附近的整数 $n=6$ 或 $n=7$ 处取得。

• 当 $n=6$ 时, $f(6)=6\cdot S_6=6\cdot (\frac{1}{3}\cdot 36-\frac{10}{3}\cdot 6)=6\cdot (12-20)=-48$。
• 当 $n=7$ 时, $f(7)=7\cdot S_7=7\cdot (\frac{1}{3}\cdot 49-\frac{10}{3}\cdot 7)=7\cdot (\frac{49}{3}-\frac{70}{3})=7\cdot (-\frac{21}{3})=-49$。 比较可知, 当 $n=7$ 时, $n{S}_n$ 取得最小值 $-49$。

故答案为：$-49$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列求和公式解析式的应用；利用导数研究三次函数在闭区间（或离散点）上的最值。

核心方法：连续化处理离散问题。将数列问题转化为函数问题，通过导数确定增减性，再回归整数点。

避坑指南：不要误认为极值点就是最值点。在处理数列等离散自变量问题时，必须代入极值点左右邻近的整数进行对比。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数求最值的配方法、等差数列的对称性。

结论推广：若 $S_n$ 是关于 $n$ 的二次函数（无常数项），则 $n{S}_n$ 必为关于 $n$ 的三次函数。

方法推广：寻找数列 $\{a_n\}$ 中的最大/最小项，常通过解不等式组 $a_n\ge a_{n-1}$ 且 $a_n\ge a_{n+1}$ 来确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-03 填-等差数列前n项和
• 2025-新高考II卷-07 单-等差前n项和
• 2026-新高考II卷-12 填-等差数列