2013-新课标II卷理-22 解-弦切角定理

本题导读

本题考查圆。核心在于边角转化法、相似比例法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） （选修4-1：几何证明选讲）22. 如图，$CD$ 为 $△ABC$ 外接圆的切线，$AB$ 的延长线交直线 $CD$ 于点 $D$，$E,F$ 分别为弦 $AB$ 与弦 $AC$ 上的点，且 $BC\cdot AE=DC\cdot AF$，$B,E,F,C$ 四点共圆.

(1)证明：$CA$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径；

(2)若 $DB=BE=EA$，求过 $B,E,F,C$ 四点圆的面积与 $△ABC$ 外接圆面积的比值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（证明直径）：
   • 利用切线性质，根据弦切角定理得 $\angle DCB=\angle A$。
   • 将已知比例式 $BC\cdot AE=DC\cdot AF$ 化为 $\frac{BC}{AF}=\frac{DC}{AE}$。
   • 结合夹角相等证明 $△CDB\sim △AEF$，从而得到对应角 $\angle CBD=\angle AFE$。
   • 利用 $B,E,F,C$ 四点共圆的对角互补或外角性质，推导出 $\angle CBA=90^{\circ }$。
2. 第二问（求面积比）：
   • 面积比等于半径平方比，也等于直径平方比。
   • 确定两个圆的直径：$△ABC$ 外接圆直径为 $AC$；过 $B,E,F,C$ 四点圆的直径（需结合 $\angle CBE=90^{\circ }$ 判定）为 $CE$。
   • 利用切割线定理 $C{D}^2=DB\cdot DA$ 建立各线段与 $DB$ 的数量关系。
   • 分别表示出 $A{C}^2$ 和 $C{E}^2$，求其比值。

✅【答案】

点击查看答案

$CA$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径；$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 因为 $CD$ 为 $△ABC$ 外接圆的切线， 所以根据弦切角定理，得 $\angle DCB=\angle BAC$。 由已知条件 $BC\cdot AE=DC\cdot AF$ 可得： $\frac{BC}{AF}=\frac{DC}{AE}$ 又因为 $\angle DCB=\angle FAE$， 所以 $△CDB\sim △AEF$。 从而有 $\angle CBD=\angle AFE$。

因为 $B,E,F,C$ 四点共圆， 所以其内接四边形的一个外角等于其内对角，即 $\angle CBD=\angle CFE$。 由此可得 $\angle AFE=\angle CFE$。 又因为 $\angle AFE+\angle CFE=180^{\circ }$， 所以 $\angle AFE=\angle CFE=90^{\circ }$。 根据相似三角形对应角相等，得 $\angle CBD=90^{\circ }$。 因此 $\angle ABC=180^{\circ }-\angle CBD=90^{\circ }$。 根据圆周角定理，直角所对的弦是直径， 所以 $CA$ 是 $△ABC$ 外接圆的直径。

（2）解： 连结 $CE$。 由（1）知 $\angle ABC=90^{\circ }$，故 $\angle CBE=90^{\circ }$。 在过 $B,E,F,C$ 四点的圆中，$\angle CBE$ 是直径 $CE$ 所对的圆周角， 所以该圆的直径为 $CE$。

设 $DB=BE=EA=k$，则 $AB=2k$，$DA=3k$。 由切割线定理得：$D{C}^2=DB\cdot DA=k\cdot 3k=3k^2$。 在 $Rt△DBC$ 中，$B{C}^2=D{C}^2-D{B}^2=3k^2-k^2=2k^2$。 在 $Rt△CBE$ 中，$C{E}^2=C{B}^2+B{E}^2=2k^2+k^2=3k^2$。 在 $Rt△ABC$ 中，$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=(2k{)}^2+2k^2=6k^2$。

两个圆的面积比等于其直径平方的比： $\frac{S_{\text{过}B,E,F,C\text{圆}}}{S_{△ABC\text{外接圆}}}=\frac{C{E}^2}{A{C}^2}=\frac{3k^2}{6k^2}=\frac{1}{2}$

故所求比值为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：弦切角定理（连接切线与圆内角）；切割线定理（处理圆外点与圆的关系）；相似三角形的判定与性质。

核心方法：在涉及圆的比例线段题目中，寻找相似三角形是关键。在求面积比时，直接寻找半径或直径的比例往往比计算具体面积更快捷。

避坑指南：注意 $\angle CBD$ 是 $△ABC$ 外角。在证明相似时，必须确认对应边比例及夹角关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相交弦定理、托勒密定理。

结论推广：若四点共圆且其中一个角为直角，则该角所对的对角线即为该圆的直径。

方法推广：切割线定理是解析几何与平面几何交汇处的常用工具，可用于求线段比例或长度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦