2013-江苏卷-08 填-柱体与锥体的体积计算

本题导读

本题考查空间几何体的体积，以及柱体与锥体的体积计算。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 如图，在三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 中，$D,E,F$ 分别为 $AB,AC,A{A}_1$ 的中点.设三棱锥 $F-ADE$ 的体积为 $V_1$，三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 的体积为 $V_2$，则 $V_1:V_2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析底面积关系：
   • 三棱柱的底面为 $△ABC$，三棱锥的底面为 $△ADE$。
   • 由于 $D,E$ 分别为 $AB,AC$ 的中点，根据相似三角形性质，$△ADE\sim △ABC$。
   • 面积比等于相似比的平方，由此求出 $S_{△ADE}:S_{△ABC}$。
2. 分析高关系：
   • 设三棱柱的高为 $h$。
   • 三棱锥的顶点 $F$ 在侧棱 $A{A}_1$ 上，且 $F$ 是 $A{A}_1$ 的中点。
   • 由于侧棱垂直（或倾斜）程度一致，三棱锥 $F-ADE$ 的高 $h_1$ 等于三棱柱高 $h$ 的一半。
3. 计算体积比：
   • 代入公式 $V_{锥}=\frac{1}{3}{S}_{底}{h}_{锥}$ 和 $V_{柱}=S_{底}{h}_{柱}$ 进行比例化简。

✅【答案】

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$1:24$

✍【详细解析】

Abstract

设三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 的底面积 $S_{△ABC}=S$，高为 $h$。 则三棱柱的体积为： $V_2=S\cdot h$

对于三棱锥 $F-ADE$：

1. 底面积： 因为 $D,E$ 分别是 $AB,AC$ 的中点， 所以 $S_{△ADE}=(\frac{1}{2}{)}^2{S}_{△ABC}=\frac{1}{4}S$。
2. 高： 因为 $F$ 是侧棱 $A{A}_1$ 的中点， 所以三棱锥 $F-ADE$ 的高 $h_1=\frac{1}{2}h$。
3. 体积： $V_1=\frac{1}{3}{S}_{△ADE}\cdot h_1=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{4}S)\cdot (\frac{1}{2}h)=\frac{1}{24}Sh$

结论： $V_1:V_2=\frac{1}{24}Sh:Sh=1:24$

故答案为：$1:24$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：不要漏掉锥体公式中的系数 $\frac{1}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：若 $D,E$ 是底面边的 $1/n$ 处点，$F$ 是侧棱的 $1/m$ 处点，则体积比为 $\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{n}{)}^2\cdot \frac{1}{m}$。

方法推广：在处理复杂组合体体积比时，找准底面积和高的对应缩放关系是通用方法。!

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-14 填-体积
• 2023-新高考II卷-14 填-体积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积