2013-江西卷文-02 单-含参方程唯一解

本题导读

本题考查集合的含义与表示，以及一元二次方程的判别式。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 若集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid a{x}^2+ax+1=0\}$ 中只有一个元素，则 $a=$()

A. 4　　　　　　B. 2　　　　　　C. 0　　　　　　D. 0 或 4

🔍【思路分析】

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1. $a=0$：方程为 $1=0$，无实解，$A=\varnothing$，不满足，舍。
2. $a\ne 0$：恰有一个元素 $\iff$ $\Delta =a^2-4a=0$ → $a=0$（舍）或 $a=4$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

$a=0$ 时方程化为 $1=0$，无解，$A=\varnothing$，与”只有一个元素”不符，舍去（排除 C、D）。 $a\ne 0$ 时 $A$ 中元素个数即方程 $a{x}^2+ax+1=0$ 的实根个数，恰有一根需 $\Delta =a^2-4a=0\Rightarrow a(a-4)=0\Rightarrow a=4(a=0\text{已舍}).$ 验证 $a=4$：$4x^2+4x+1=(2x+1{)}^2=0$，唯一根 $x=-\frac{1}{2}$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参方程解的个数（集合元素的唯一性）

核心方法：$a=0$ 时方程 $1=0$ 无解（$A=\varnothing$，舍）；$a\ne 0$ 时 $\Delta =a^2-4a=0$ → $a=4$

避坑指南：二次项系数含参先分类：$a=0$ 退化成一次方程吗？这里 $a=0$ 连一次项也没有，$A$ 为空集不满足条件——漏掉这一类或把它误当”恰有一解”都会出错；判别式为零只是”只有一个元素”的必要条件之一。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由集合元素的个数反推参数（含参二次方程）。

结论推广：$a=0$ 退化检验；判别式法。

方法推广：二次项系数分类 → 退化情形讨论 → 判别式定参 → 舍去不合题意的根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-10 单-仰角最大值
• 2014-广东卷文-21 解-导数存在性