2013-江西卷理-05 单-二项展开式的通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） $(x^2-\frac{2}{x^3}{)}^5$ 展开式中的常数项为()

A. $80$　　　　　　B. $-80$　　　　　　C. $40$　　　　　　D. $-40$

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 整理 $x$ 的指数：将通项中的系数与变量分离，合并 $x$ 的幂次。
3. 寻找常数项：常数项即 $x$ 的指数为 $0$ 的项。令指数等于 $0$ 求解出 $r$。
4. 计算系数：将求得的 $r$ 值代入系数部分，得出最终结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出展开式的通项公式。 对于二项式 $(x^2-\frac{2}{x^3}{)}^5$，其通项为： $T_{r+1}=C_5^r(x^2{)}^{5-r}\cdot (-2x^{-3}{)}^r$

第二步：整理各项系数与 $x$ 的幂次。 $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{10-2r}\cdot (-2{)}^r\cdot x^{-3r}$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot (-2{)}^r\cdot x^{10-5r}$

第三步：令 $x$ 的指数为 $0$，求解 $r$。 令 $10-5r=0$，解得 $r=2$。

第四步：计算常数项的值。 将 $r=2$ 代入系数部分： 常数项 = $C_5^2\cdot (-2{)}^2$ 因为 $C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$， 所以 常数项 = $10\times 4=40$。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用。 2. 易错点： - 符号错误：容易忽略 $(-2)$ 中的负号，导致算出错误答案或正负号反转。 - 指数运算：在合并 $x^{10-2r}$ 与 $x^{-3r}$ 时，若计算成 $10-r$ 会导致无法求出整数解。 3. 计算能力：对组合数 $C_n^r$ 的基础计算需熟练。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数的性质（对称性、增减性）、杨辉三角。

结论推广：若求展开式中所有项的系数和，可令 $x=1$ 代入原二项式。

方法推广：类似的题目可能要求 $x$ 的一次项、二次项系数，解题步骤一致，只需令指数等于目标次数。

🔗【关联脉络】

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