2013-浙江卷理-02 单-补集、并集

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及补集、并集。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 2. 设集合 $S=\{x|x>-2\}$，$T=\{x|x^2+3x-4\le 0\}$，则 $({\complement }_{\mathbf{R}}S)\cup T=($\quad\quad$)$

A. $(-2,1]$　　　　B. $(-\infty ,-4]$　　　　C. $(-\infty ,1]$　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 求补集：已知全集为实数集 $\mathbf{R}$，根据补集定义求出 ${\complement }_{\mathbf{R}}S$。
2. 求解一元二次不等式：将 $T$ 中的二次多项式因式分解，确定集合 $T$ 的区间范围。
3. 求并集：将上述两个集合的结果取并集，建议在数轴上表示以防丢解或取错端点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算补集 ${\complement }_{\mathbf{R}}S$ 已知 $S=\{x|x>-2\}$， 则其在实数集 $\mathbf{R}$ 上的补集为： ${\complement }_{\mathbf{R}}S=\{x|x\le -2\}$

第二步：计算集合 $T$ 解不等式 $x^2+3x-4\le 0$： 因式分解得 $(x+4)(x-1)\le 0$， 根据“小于取中间”的原则，解得： $T=\{x|-4\le x\le 1\}$

第三步：计算 $({\complement }_{\mathbf{R}}S)\cup T$ 将两个集合取并集： $\{x|x\le -2\}\cup \{x|-4\le x\le 1\}$ 在数轴上观察，这两个区间有重叠部分（从 $-4$ 到 $-2$），合并后的范围从负无穷一直延伸到 $1$。 即： $({\complement }_{\mathbf{R}}S)\cup T=\{x|x\le 1\}$ 写成区间形式为 $(-\infty ,1]$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：补集 $({\complement }_{\mathbf{R}}S)$ 和并集 $(\cup )$ 的定义；一元二次不等式的解法。

核心方法：数轴法是处理集合运算最直观、最不容易出错的方法。

避坑指南：求补集时要注意端点的“开闭”反转。$S$ 中不包含 $-2$（开区间），则其补集中必须包含 $-2$（闭区间）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：德·摩根定律（${\complement }_{\mathbf{R}}(A\cup B)={\complement }_{\mathbf{R}}A\cap {\complement }_{\mathbf{R}}B$）。

结论推广：对于数轴上的连续区间运算，$A\cup B$ 寻找的是所有覆盖区域的并，而 $A\cap B$ 寻找的是重叠部分。

方法推广：面对复杂的集合混合运算，遵循“先括号内，后括号外”的顺序。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-四川卷文-01 单-并集
• 2015-陕西卷文-01 单-集合并集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补